[PDF] [PDF] Nouvelle Calédonie 28 novembre 2017 - APMEP

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

4.D"après le tableau de variations précédent, on peut dire quel"équationf(x)=1 admet une solu-

tion unique sur]0 ;+∞[et que cette solutionαappartient à l"intervalle]0 ; 1[.?f(0,4)≈2,1>1

Exercice 33 points

Commun à tous lescandidats

PartieA

PropositionA :

L"aire du domaine délimité par les droites d"équationsx=0 etx=ln(2), l"axe des abscisses et la courbe

Cest égale à 1 unité d"aire.

DoncA=F(ln(2))-F(0)=?

2×2-4

PropositionA fausse

PartieB

Soitnun entier strictement positif.

Soit la fonctionfndéfinie sur l"ensemble des nombres réels parfn(x)=2nex-e2xetCnsa représen-

PropositionB :

PropositionB vraie

Exercice 43 points

Commun à tous lescandidats

On considère la suite des nombres complexes

1.Pour tout entier natureln, on noteAnle point d"affixezn.

-----→OAn+4et---→OAnsont colinéaires, ce qui signifie que les points O,AnetAn+4sont alignés.

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

2.On sait que pour deux nombres complexesz1etz2non nuls, arg?z1z2?

4[2π]et arg(1-i)=-π4[2π]donc arg(1-i)n=-nπ4[2π]

On a alors : arg

4=kπ??n+1=4k??n=4k-1 aveck?Z.

Exercice 55 points

4un+1-14un.

PartieA :

On a reproduit ci-dessous une partie d"une feuille de calcul, où figurent les valeurs deu0et deu1.

1.La formule àsaisir dans la cellule B4, puis àrecopier vers lebas, permettant d"obtenir des valeurs

2.On complète le tableau donné dans le texte avec des valeurs approchées à 10-3près deun:

426,75

536,938

646,984

756,996

3.On peut conjecturer que la suite(un)converge vers le nombre 7.

PartieB : Étude de la suite

On considère les suites

4unetwn=un-7.

1. a.vn+1=un+2-1

4u0=6-34=214.

Donc, pour toutn,un+1-1

4un=214doncun+1=14un+214.

2. a.Soit la propriétéun •Initialisationu0=3 etu1=6 doncu04un<14un+1<154=?14un+214<14un+1+214<154+214ce qui

équivaut àun+1 4. On en déduit queun+1•ConclusionOn a vérifié que la propriété était vraie pourn=0; on a démontré qu"elle était héréditaire

pourn?0. D"après le principe de récurrence, on peut dire que la propriété est vraie pour toutn?0. Nouvelle-Calédonie & Wallis et Futuna428 novembre2017

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

On a donc démontré par récurrence que, pour tout entier natureln,unLa suite (un) est croissante et majorée donc, d"après le théorème de la convergence mono-

tone, la suite (un) est convergente.

3. a.Pour toutn,wn=un-7 doncun=wn+7.

•wn+1=un+1-7=1

4un+214-7=14?wn+7?-74=14wn+74-74=14wn

•w0=u0-7=3-7=-4 Donc la suite (wn) est géométrique de premier termew0=-4 et de raisonq=1 4. b.On en déduit que, pour toutn,wn=w0×qn=-4×?1 4? n =-4×14×?14? n-1 =-?14? n-1

Orun=wn+7 donc, pour toutn,un=7-?1

4? n-1 c.-1<1

4<1 donc, d"après les propriétés des limites des suites géométriques, limn→+∞?

14? n-1 =0.

On en déduit que lim

n→+∞un=7.

Exercice 55 points

Candidatsayantsuivi l"enseignementde spécialité

Dansunterritoiredonné,ons"intéresse àl"évolution coupléededeuxespèces:lesbuses(lesprédateurs)

et les campagnols (les proies). Des scientifiques modélisent, pour tout entier natureln, cette évolution par : ?b

0=1000

c

0=1500

b n+1=0,3bn+0,5cn c n+l= -0,5bn+1,3cn oùbnreprésente approximativement le nombre de buses etcnle nombre approximatif de campagnols le 1 erjuin de l"année 2000+n(oùndésigne un entier naturel).

1.On noteAla matrice?0,3 0,5

-0,5 1,3? et, pour tout entier natureln,Unla matrice colonne?bn c n? a. ?bn+1=0,3bn+0,5cn c n+l= -0,5bn+1,3cndonc?b1=0,3b0+0,5c0=0,3×1000+0,5×1500=1050 c

1= -0,5b0+1,3c0= -0,5×1000+1,3×1500=1450

DoncU1=?10501450?

c

2= -0,5b1+1,3c1= -0,5×1050+1,3×1450=1360doncU2=?10401360?

b.On sait que?bn+1=0,3bn+0,5cn c n+l= -0,5bn+1,3cnce qui s"écrit sous forme matricielle : ?bn+1 c n+1? =?0,3 0,5 -0,5 1,3?

×?bn

c n? c"est-à-direUn+1=AUn.

2.On donne les matricesP=?1 01 1?

,T=?0,8 0,5

0 0,8?

etI=?1 00 1? On admet quePa pour inverse une matriceQde la forme?1 0 a1? oùaest un réel. a.On doit déterminer le réelapour quePQ=QP=I.

PQ=?1 01 1?

×?1 0

a1? =?1×1+0×a1×0+0×1

1×1+1×a1×0+1×1?

=?1 0 1+a1? Nouvelle-Calédonie & Wallis et Futuna528 novembre2017

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

PQ=I??1+a=0??a=-1; doncQ=?1 0

-1 1?

On vérifie :QP=?1 0

-1 1?

×?1 01 1?

=?1×1+0×1 1×0+0×1 -1×1+1×1-1×0+1×1? =?1 00 1?

Donc la matriceQ=?1 0

-1 1? est l"inverse de la matriceP=?1 01 1? b.On admet queA=PTQ.

Soit la propriétéAn=PTnQ.

•InitialisationOn a admis queA=PTQce qui s"écritA1=PT1Q; la propriété est donc vraie pourn=1.

•HéréditéOn suppose la propriété vraie au rangn?1n c"est-à-direAn=PTnQ; c"est l"hypothèse

de récurrence. A n+1=A×An=?PTQ??PTnQ?=P?T(QP)Tn?Q Les matricesPetQsont inverses l"une de l"autre doncQP=I.

TPQ=TI=TetT×Tn=Tn+1.

On peut donc écrireAn+1=PTn+1Qce qui démontre que la propriété est vraie au rang n+1.quotesdbs_dbs49.pdfusesText_49