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?Corrigé du baccalauréat ES/L Métropole 20 juin 2014?

Exercice 15 points

Commun à tous lescandidats

1. c. P A(

B)=1-PA(B)=1-0,3=0,7

2. c. D"après la formule des probabilités totales :

P(B)=P(A∩B)+P(

3. c.

La fonctionFest une primitive de la fonctionf, doncfest la dérivée deF. D"après le tableau de

variations def,f(x)<0 sur[4; 12], donc la fonctionFest décroissante sur cet intervalle. 4. d. 5. a.

La fonctiong:x?-→5

xa pour primitive sur]0;+∞[la fonctionG:x?-→5lnx.

L"aire est égale à

6 2 g(x)dx=G(6)-G(2)=5ln6-5ln2=5(ln6-ln2)

Exercice 25 points

Commun à tous lescandidats

1.u0=1500; d"une année sur l"autre, 20% de la surface engazonnée est détruite, donc il en reste

80%, soit 0,80×u0=1200.

On rajoute 50 m

2de gazon, il y en aura donc 1200+50=1250 :u1=1250.

2.La surface engazonnée l"année 2010+nestunet la surface engazonnée l"année 2010+(n+1) est

u

n+1. Or tous les ans, 20% de la surface engazonnée est détruite, donc il en reste 80%, soit 0,8un.

On rajoute 50 m

2de gazon chaque année donc pour tout entier natureln,un+1=0,8un+50.

3.On considère la suite(vn)définie pour toutnpar :vn=un-250; doncun=vn+250.

v

0=u0-250=1500-250=1250

Donc la suite (vn) est géométrique de raisonq=0,8 et de premier termev0=1250. b.On déduit de la question précédente que, pour toutn,vn=v0×qn=1250×0,8n. Comme, pour toutn,un=vn+250, on en déduit queun=250+1250×0,8n. c.La surface de terrain engazonné au bout de 4 années estu4=250+1250×0,84=762 m2.

4. a.On résout l"inéquation 250+1250×0,8n<500 :

250+1250×0,8n<500??1250×0,8n<250

??0,8n<250 1250
??0,8n<0,2 ??ln0,8nln0,2 ln0,8(ln0,8<0) Or ln0,2 ln0,8≈7,2 donc la plus petite valeur dentelle que 250+1250×0,8n<500 estn=8.

C"est donc à partir de la 8

eannée que la surface engazonnée sera inférieure à 500 m2.

On peut vérifier que u

7≈512et que u8≈460.

b.On complète l"algorithme pour obtenir le résultat de la question précédente :

Corrigédu baccalauréat ES/LA. P.M. E. P.

Initialisationuprend la valeur 1500

nprend la valeur 0

TraitementTant queu?500faire

uprend la valeur0,8×u+50 nprend la valeurn+1

Fin Tant que

SortieAffichern

5.Pour toutn, 0,8n>0 donc 1250×0,8n>0 et donc 250+1250×0,8n>250??un>250.

La surface engazonnée restera toujours supérieure à 250 m

2donc Claude a raison.

Remarque : on peut démontrer que la suite(un)est décroissante et qu"elle converge vers 250.

Exercice 35 points

Candidatsayantchoisi la spécialité

Alice participe à une compétition de tir à l"arc; elle effectue plusieurs lancers de flèches.

Lorsqu"elle atteint la cible à un lancer, la probabilité qu"elle atteigne la cible au lancer suivant est égale

à 0,9.

Lorsqu"elle a manqué la cible à un lancer, Alice se déconcentre et la probabilité qu"elle atteigne la cible

au lancer suivant est égale à 0,4. On suppose qu"au premier lancer, elle a autant de chances d"atteindre la cible que de la manquer. Pour tout nombre entier naturelnstrictement positif, on note : a nla probabilité qu"Alice atteigne la cible aun-ième lancer; b nla probabilité qu"Alice manque la cible aun-ième lancer; P n=(anbn)la matrice ligne traduisant l"état probabiliste aun-ième lancer.

1. a.On représente la situation à l"aide d"un graphe pondéré :

A B 0,1 0,4

0,90,6

b.La matrice de transitionMest la matrice 2×2 telle que pour toutn,Pn+1=Pn×M.

DoncM=?0,9 0,10,4 0,6?

c.D"après le texte, Alice a autant de chance d"atteindre sa cible que de la manquer au premier lancer; donca1=0,5 etb1=0,5 et doncP1=?0,5 0,5?.

On sait queP2=P1×M

doncP2=?0,5 0,5??0,9 0,10,4 0,6? =?0,5×0,9+0,5×0,4 0,5×0,1+0,5×0,6?=?0,65 0,35?

2. a.Pn+1=Pn×M???an+1bn+1?=?anbn??0,9 0,10,4 0,6?

???an+1=0,9an+0,4bn b n+1=0,1an+0,6bn

Donc, pour toutn,an+1=0,9an+0,4bn.

b.D"après le texte, on peut dire que pour toutn,an+bn=1 doncbn=1-an. a n+1=0,9an+0,4bn b n=1-an? ??an+1=0,5an+0,4

3. a.On complète l"algorithme de façon à ce qu"il affiche l"état probabiliste aun-ième lancer :

Métropole220 juin 2014

Corrigédu baccalauréat ES/LA. P.M. E. P.

EntréesSaisirn

Traitementaprend la valeur 0,5

bprend la valeur 0,5

Pouriallant de 2 àn

aprend la valeur0,5×a+0,4 bprend la valeur 1-a

Fin Pour

SortieAffichera,b

b.On fait tourner l"algorithme pourn=5 : nab

10,50,5

20,650,35

30,7250,275

40,76250,2375

50,781250,21875

Donc pourn=5 l"affichage de cet algorithme est 0,78125 et 0,21875.

4. a.On considère la suite(un)définie pour toutndeN?par :un=an-0,8; doncan=un+0,8.

u u

1=a1-0,8=0,5-0,8=-0,3

Donc la suite (un) est géométrique de raisonq=0,5 et de premier termeu1=-0,3. b.On déduit de la question précédente que pour toutndeN?,un=u1×qn-1=-0,3×0,5n-1. Commean=un+0,8, on peut dire que pour toutndeN?,an=0,8-0,3×0,5n-1. c.La suite (un) est géométrique de raison 0,5; or 0?0,5<1 donc la suite (un) est convergente et a pour limite 0. Pour toutndeN?,an=un+0,8, donc la suite (an) est convergente et a pour limite 0,8. À long terme, la probabilité qu"Alice atteigne la cible est égale à 0,8.

d.On aurait pu trouver le résultat précédent en essayant de déterminer un état stable, c"est-à-

dire un couple (a,b) de nombres de l"intervalle[0; 1]tels que :? ?a b?=?a b?×M a+b=1

Exercice 35 points

Candidatsn"ayantpas choisi la spécialitéet L

PartieA

Chaque jour, Antoine s"entraine au billard américain pendant une durée comprise entre 20 minutes et

une heure. On modélise la durée de son entrainement, en minutes, par une variable aléatoireXqui suit

la loi uniforme sur l"intervalle[20 ; 60].

1.La probabilitéppour que l"entrainement dure plus de 30 minutes est :

P(30

60-20=3040=0,75

2.L"espérance deXest20+60

2=40. Cela signifie que le temps moyen d"entrainement d"Antoine est de 40 minutes.

PartieB

Les boules de billard américain avec lesquelles Antoine s"entraine sont dites de premier choix si leur

diamètre est compris entre 56,75 mm et 57,25 mm; sinon elles sont dites de second choix.

On noteDla variable aléatoire qui, à chaque boule prélevée au hasarddans la production, associe son

diamètre, en millimètres. On suppose queDsuit la loi normale d"espérance 57 et d"écart-type 0,11.

Métropole320 juin 2014

Corrigédu baccalauréat ES/LA. P.M. E. P.

1.La probabilitép1que la boule prélevée ait un diamètre inférieur à 57 mm estP(X<57).

Comme 57 est l"espérance de la loi normale suivie parX,P(X<57)=0,5. La probabilitép1que la boule prélevée ait un diamètre inférieur à 57 mm est 0,5.

2.La probabilitép2que la boule prélevée soit une boule de premier choix estP(56,75?X?57,25).

Avec une calculatrice, on trouveP(56,75?X?57,25)≈0,977.

La probabilitép2que la boule prélevée soit une boule de premier choix est, à 10-3près, de 0,977.

3.L"évènement "la boule prélevée est de second choix» est l"évènement contraire de "la boule pré-

levée est de premier choix»; doncp3=1-p2≈1-0,977≈0,023.

La probabilitép3que la boule prélevée soit une boule de second choix est, à 10-3près, de 0,023.

PartieC

Le président de la fédération française de billard (FFB) souhaite estimer le niveau de satisfaction de ses

14000 licenciés quant à l"organisation des tournois.

Antoine estime que les 80 adhérents de son club constituent un échantillon représentatif des licenciés

de la FFB. Il est chargé de faire une étude au sein de son club : les 80 adhérents ont répondu, et 66 ont

déclaré qu"ils étaient satisfaits.

1.Sur cet échantillon, la fréquence observéefde personnes satisfaites de la FFB est66

80=0,825.

2.Un intervalle de confiance au niveau de confiance 0,95 est donné par :

quotesdbs_dbs4.pdfusesText_7