Or on a montré que di=-di' et en différentiant A=r+r', on obtient de même que dr=- dr' En remplaçant dans (3), on a alors : = On obtient alors facilement que =
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Spé MP Lycée Daudet
L"angle de déviation D vaut : D=i-r+i"-r"
Or A=r+r" où A est l"angle au sommet du prisme.D"où D=i+i"-A.
D est minimum quand
di"=-di Or les lois de la réfraction à l"entrée et à la sortie donnent (1) ²¨ݢቘ൩ ݧȁ²¨ݫቘ (2) ²¨ݢԿቘ൩ ݧȁ²¨ݫԿቘEn différentiant (1) et (2), on obtient ¢®²ݢቘݝݢ ൩ ݧȁ¢®²ݫቘݝݫ et ¢®²ݢԿቘݝݢԿ ൩ ݧȁ¢®²ݫԿቘݝݫԿ. Il suffit
d"en faire ensuite le rapport pour obtenir :Or on a montré que di=-di" et en différentiant A=r+r", on obtient de même que dr=-dr". En remplaçant
dans (3), on a alors :On obtient alors facilement que
ో soit encoreଡ଼எஉ௹ቘో Pour résoudre cette équation, il faut donc étudier la fonction ݟݱቘ൩ ోଡ଼ఈ pour x>0Dérivons : ݟݱቘ൩
La fonction f est monotone décroissante donc injective. L"équation (4) admet donc pour solution
unique i = i". Cela entraine immédiatement que r = r".