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Fonctionnement d'un réseau Exercice 4 Graphe de marquage : sémantique 5 Les réseaux de Petri permettent de modéliser+analyser des systèmes

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4 2 1 Définitions • Un réseau de Petri (RdP) est un graphe biparti constitué de 2 sortes de nœuds : Les transitions faisant passer d'un marquage à l'autre pour un marquage initial M0 Exemples : 1) Solutions des exercices 1 à 4 Solution 

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P11 : le philosophe 4 mange (0 5 Le réseau de PETRI (2 points/8) Exercice N°2 : (8 points) Soit le RdP de la figure 2 1 Donner le graphe des marquages atte

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Cycle B Réseaux de Petri – Exercices (3) Exercice 1 (1 ère miner le marquage obtenu après le tirage de la séquence σ en utilisant l'équation d'état VUMM

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Les réseaux de Petri (RdP) sont un outil graphique et mathématique qui trouvent Exercice -1 : construire le graphe des marquages accessibles et en déduire

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Le graphe associé à un réseau de Petri peut être très complexe Un certain l' ensemble des marquages accessibles à partir du marquage M0 initial On notera 

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1 4 Construire le graphe de marquage pour ce réseau de Petri Exercice 2 Le problème classique des lecteurs/rédacteurs consiste à modéliser deux groupes 

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Un réseau de Petri est un graphe orienté biparti défini par un quadruplet R = (P, T, Exercice : Pour le RdP suivant : ▫ Indiquer le marquage initial ▫ Etablir la 

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HMEE111 - Réseau de Petri Représentation graphique 8 9 Propriétés des réseaux de Petri ▫ Marquage ▫ Le marquage d'un RdP à un instant donné Exercice ▫ Quelles sont les transitions tirables? Quelles seraient la distribution  

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Donnez le graphe des marquages accessibles du modèle présenté à la figure 2 Ce modèle présente- t-il des interblocages? Si oui, pourquoi (donnez une 

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VADE-MECUMDE

L'ÉTUDIANT EN RÉSEAUX DE PETRIpar Stéphane MARIELAvant Propos

Les réseaux de Petri, quoique peu à la mode, ne sont paspréhistoriques, on les doit aux travaux du mathématicienallemand Carl Adam Petri dans les années 60.Ils ont surtout été étudiés en Europe et au MIT et sont àl'origine du GRAFCET utilisé dans l'industrie française etmaintenant européenne.Ils devraient aussi faire leur apparition dans la prochaineversion de la norme UML (2) et sont aussi parfois utilisés dansl'industrie du jeu vidéo.I.NOTATIONS ET RÈGLES DE FRANCHISSEMENT1.Places, transitions et arcsUn réseau de Petri est :•un graphe,•formé de deux types de noeuds appelés places ettransitions reliés par des arcs orientés, •et biparti, c'est-à-dire qu'un arc relie alternativement uneplace à une transition et une transition à une place.Lorsqu'une place est reliée à une transition par un arc : Pitj,

on parle de place en entrée de tj. Lorsqu'une transition est reliée à une place par un arc tjPi,

on parle de place en sortie de tj. Une transition sans place en entrée est une transition source, une transition sans place en sortie est une transition puits. Source Puits

2.MarquagesChaque place d'un réseau de Petri peutcontenir une ou plusieurs marques (onparle aussi de jetons). La configurationcomplète du réseau, avec toutes lesmarques positionnées, forme lemarquage et définit l'état du réseau (etdonc l'état du système modélisé).Dans la suite on traitera principalement des réseaux marqués,et de l'évolution des marquages.3.Franchissement de transitionsPour rendre compte del'évolution du systèmemodélisé, les réseaux de Petriintègrent un formalismepermettant de passer d'unmarquage à un autre : c'est lefranchissement des transitions.Une transition estfranchissable si chacune desplaces en entrée comporte aumoins un jeton. Pour les transitionsfranchissables, on définit lefranchissement effectif selonles règles suivantes :•le franchissement est uneopération indivisible (atomique),•un jeton est consommé dans chaque place en entrée,•un jeton est produit dans chaque place en sortie.4.Réseaux particuliersLe graphe associé à un réseau de Petri peut être trèscomplexe. Un certain nombre de situations présente un intérêtparticulier :1.les graphes d'étatsDans ce cas chaque transition ne dispose que d'une place enentrée et une place en sortie.2.les réseaux sans conflitsDans lesquels chaque place n'a qu'une transition en sortie.3.les réseaux dits simplesRéseaux avec conflits mais dans lequel chaque transitionn'intervient au plus que dans une situation de conflit.4.les réseaux pursDans cette situation aucune place n'est à la fois en entrée eten sortie de la même transition.Le tableau suivant illustre les définitions précédentes :Graphe d'étatsSans conflitsPossibleImpossiblePossibleImpossiblePurSimplePossibleImpossiblePossibleImpossibleII.PROPRIÉTÉS DES RÉSEAUX DE PETRIDans la suite on appellera M0 le marquage initial. Et *M0

l'ensemble des marquages accessibles à partir du marquageM0 initial.On notera la franchissabilité d'une transition tj à partir d'unmarquage Mi comme suit: Mi[tj> Si le marquage résultant est M'i alors on notera : Mi[tj>M'i

Cette notation est extensible aux séquences de transitions. Onnote dans ce cas la franchissabilité de la séquence commesuit : Mi[tjtk>

Par ailleurs on définit une notion d'ordre sur les marquages endéfinissant la notion de couverture. Un marquage M' couvreun marquage M (on dit aussi : M' est supérieur à M) si leP1

t1 P2 P1 P2 t1 t2 P1 t1 P2P3 t1 P2 P1 t2 P1 t1 P2P3 P1 t1 P2 P1 t1 P2P3 P1 t1

P2

Franchissement de t1

P1 t1 P2 P1 t1 P2P3 P1 t1 P2 P3 P1 t1 P2P3 P4 t2 P3 P1 t1

P2

P3 P1 t1

P2

P4 t2 P3 P1 t1

P2

P4 t2 P3 P1 t1

P2

P4 t1

nombre de marques dans chaque place du réseau M'(Pi) pourM' est supérieur au nombre de marques pour chaque placeM(Pi) dans M. Soit :

1.Réseaux bornés et/ou binairesAttention : cette propriété, comme les suivantes, est définiepour un marquage M0 donné. Sa validité pour un autremarquage n'est en rien garantie.Une place est dite bornée pour un marquage initial M0 si ilexiste un entier k tel que pour tous les marquages accessiblesdepuis M0 et pour toutes les places du réseau, le nombre dejetons dans chaque place est inférieur à k. La place est dite k-borné.Un réseau dont toutes les places sont bornées est lui mêmeborné. Enfin un réseau 1-borné (chaque place contient au maximumun jeton) est dit sauf ou binaire.Réseau bornéRéseau non borné2.VivacitéLa vivacité porte sur les transitions. Une transition tj est ditevivante pour un marquage initial M0 si depuis tout marquageaccessible il est possible de trouver une séquence detransitions amenant à franchir tj. Dans un tel réseau il seratoujours possible de re-franchir tj, peu importe les transitionsdéjà franchies. La vivacité est donc une propriété très forte.Un réseau dont toutes les transitions sont vivantes est ditvivant.3.Quasi-vivacitéLa quasi-vivacité va définir une propriété moins contraignanteque la vivacité. Là ou la vivacité exige que la transition soitfranchissable à partir de tout marquage, la quasi-vivacitéimpose juste l'existence d'une séquence de transitionpermettant de franchir tj, depuis le seul marquage initial.Un réseau dont toutes les transitions sont quasi-vivantes est ditquasi-vivant. On peut donc dire de manière simple qu'un tel réseau necomporte pas de branches mortes pour le marquage initial, ilexiste toujours au moins un moyen de franchir chaquetransition en partant de M0.

4.BlocageUn blocage correspond à un marquage du réseau de Petripour lequel plus aucune transition n'est franchissable.Un réseau est dit sans blocage si aucun marquage del'ensemble des marquages accessibles *M0 n'est un blocage.5.État d'accueil et réseaux ré-initialisablesUn état d'accueil pour un réseauet son marquage initial est unmarquage particulier Ma tel qu'ilexiste un chemin (une séquencede transitions franchissables)menant à Ma pour tous lesmarquages accessibles. Il est donc toujours possible,quelques soient les transitionsdéjà franchies, de revenir à l'étatd'accueil en franchissant denouvelles transitions.Si M0 s'avère être un état d'accueil, alors le réseau est ditréinitialisable. 6.Composantes conservatives & invariantsUn invariant de marquage est une propriété du marquaged'un ensemble de places du réseau.On est en présence d'un invariant de marquage si, pour unensemble donné de places, il existe une combinaison linéairedes marques présentes dans les places de valeur constantequelque soit l'évolution du réseau (et donc pour tous lesmarquages accessibles).Il existe donc dans ce cas un vecteur V dit de pondération :Et l'invariant de marquage résulte de la propriété suivante :Seules certaines places interviennent dans l'invariant demarquage (on a pour ces places : qi non nul), l'ensemble desplaces en question forme une composante conservative notéeP(V).M'≥M⇔∀PiM'Pi≥MPiV=1, 2, ...,n

∀M∈M0 , * ∑i.MPi=cte P1 t1 P2 t1 P2

P1

T2 est quasi vivante t1 P2 P1 t2M1 est un blocage P1 t2 P2 t3quotesdbs_dbs2.pdfusesText_3