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Exercice 3Corrigé

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL

Session 2016

MATHÉMATIQUES

- Série ES -

ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ

Durée de l'épreuve : 3 heures

Coefficient : 7

Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à la réglementation en vigueur. Le sujet est composé de 4 exercices indépendants. Le candidat doit traiter tous les exercices. Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes, à condition de l'indiquer clairem ent sur la copie. ou non fructueuse, qu'il aura développée.

Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements

entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. Avant de composer, le candidat s'assurera que le sujet comporte bien 5 pages numéro tées de 1 à 5.

EXERCICE35 points

Candidatsde la série ES ayantsuivi l"enseignementde spécialité

Une compagnie aérienne utilise huit aéro-

ports que l"on nomme A, B, C, D, E, F, G et H.

Entre certains de ces aéroports, la compagnie

propose des vols dans les deux sens. Cette situation est représentée par le grapheΓ ci-contre, dans lequel : •les sommets représentent les aéro-ports, •les arêtes représentent les liaisons as- surées dans les deux sens par la com- pagnie.AB C D EF G H

Partie A

1. a .Déterminer, en justifiant, si le grapheΓest complet. b.Déterminer, en justifiant, si le grapheΓest connexe.

2.Déterminer, en justifiant, si le grapheΓadmet une chaîne eulérienne. Si oui, donner

une telle chaîne.

3.Donner la matrice d"adjacenceMdu grapheΓen respectant l"ordre alphabétique des

sommets du graphe.

4.Pour la suite de l"exercice, on donne les matrices suivantes :

M 2=( ((((((((((3 1 2 2 1 1 0 1

1 4 1 2 2 0 2 0

2 1 3 1 1 2 0 1

2 2 1 4 1 1 1 1

1 2 1 1 3 0 1 0

1 0 2 1 0 2 0 1

0 2 0 1 1 0 3 0

1 0 1 1 0 1 0 2)

))))))))))etM3=( ((((((((((4 8 3 7 6 1 4 1

8 4 8 8 3 6 1 4

3 8 2 7 4 1 6 1

7 8 7 6 7 3 3 2

6 3 4 7 2 3 1 4

1 6 1 3 3 0 5 0

4 1 6 3 1 5 0 4

1 4 1 2 4 0 4 0)

Un voyageur souhaite aller de l"aéroport B à l"aéroport H. a.Déterminer le nombre minimal de vols qu"il doit prendre, Justifier les réponses à l"aide des matrices données ci-dessus. b.Donner tous les trajets possibles empruntant trois vols successifs.

Partie B

Les arêtes sont maintenant pondérées par le coût de chaque vol, exprimé en euros.

Un voyageur partant de l"aéroport A doit se

rendre à l"aéroport G. En utilisant l"algorithme de Dijkstra, détermi- ner le trajet le moins cher.AB C D EF G H 40
100
45
110
50
120
60
50
40
55
80
90
1 alainpiller. frfreemaths . fr 1. a. Déterminons, en justifiant, si le graphe est complet:

D'après le cours, nous savons que:

Deux sommets sont dits adjacents s'ils sont reliés par une arêt e. Un graphe dont les sommets sont 2 à 2 adjacents est aussi appelé graphe complet. Ici, le graphe n'est pas complet car, par exemple, les sommets D et H ne sont pas adjacents.

Au total: le graphe n'est pas complet.

1. b. Déterminons, en justifiant, si le graphe est connexe: Ici, le graphe est connexe car il existe une chaîne entre deux sommet s quelconques de ce graphe. En effet, deux sommets quelconques de ce graphe peuvent, par exemple, ê tre reliés par une chaîne extraite de la chaîne:

A - B - C - D - E - H - G - F.

Au total: le graphe est donc connexe.

EXERCICE 3

[ Centres trangers 2016 ]

Partie A:

2 alainpiller. frfreemaths . fr 2. Déterminons, en justifiant, si le graphe admet une chaîne eulér ienne:

D'après le cours:

G étant un graphe connexe, les deux propriétés suivantes sont é quivalentes: Deux sommets (et deux seulement) X et Y de G sont de degré impair. G admet une chaîne eulérienne d'extrémités X et Y. Ici, le tableau des sommets degrés est le suivant:

SommetsABCDEFGH

Degrés34343232

Il y a donc 4 sommets A, C, E et G de degré impair.

Par conséquent:

le graphe n'admet pas de chaîne eulérienne. Au total: le graphe n'admet pas une chaîne eulérienne. 3.

Donnons la matrice d'adjacence du graphe:

La matrice associée au graphe probabiliste ou matrice de transition M est:

01011000

10110100

01010010

11101000

10010011

01000010

00100101

00001010

M = .

3 alainpiller. frfreemaths . fr 4. a. Déterminons le nombre minimal de vols qu'il doit prendre pour alle r de

B à H:

Pour répondre à cette question, nous allons regarder le chiffre in diqué sur la 2 e ligne (

B ), 8

e colonne (

H ), et ce, pour les matrices M, M

2 et M 3

Pour M: le chiffre est: 0.

Pour M

2 : le chiffre est: 0.

Pour M

3 : le chiffre est: 4.

Donc au total: il faut 3 ( M

3 ) vols minimum pour aller de l'aéroport B à l'aéroport H. Et il y a 4 possibilités. 4. b.

Donnons tous les trajets possibles:

Les 4 possibilités sont:

B - C - G - H B - A - E - H

B - D - E - H B - F - G - H .

Partie B:

En utilisant l'algorithme de Dijkstra, déterminons le trajet le mo ins cher pour aller de A à G: Après recours à l'algorithme de Dijkstra, nous trouvons comme t rajet le moins cher pour aller de l'aéroport A à l'aéroport G: le trajet A - E - D - C - G. Et ce dernier coûtera: 45 + 40 + 60 + 50 = 195 €. Au total, le trajet le moins cher pour aller de A est: A - E - D - C - G, et il en coûtera 195 € au voyageur.quotesdbs_dbs6.pdfusesText_11