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Fiche AP - Condition nécessaire et suffisante

En mathématiques, lors d"une démonstration, on emploie l"expression " il faut que » différemment que dans le langage courant. Prenons un exemple de phrase du langage courant : Pour faire une omelette , il faut que je casse des oeufs . Condition nécessaire On comprend bien qu"il faut d"abord casser des oeufs pour faire une omelette, casser des oeufs est donc nécessaire pour réaliser ce plat :

La phrase logique s"écrit alors : " Pour faire une omelette, il est nécessaire que je casse des

oeufs » ( 1 ) La condition " casser des oeufs » s"appelle une condition nécessaire. On peut noter cette phrase logique sous la forme : Faire une omelette ? Je casse des oeufs (2) (la condition nécessaire est à droite )

On peut écrire cette phrase logique avec " Si et Alors » : Si je fais une omelette alors je casse des

oeufs (3 )

Remarque :

Un autre moyen de repérer une condition nécessaire, est de dire que si elle ne se réalise pas, alors la deuxième condition ne peut se réaliser non plus . On appelle cela la contraposée. Exemple : Si je ne casse pas d"oeufs, alors je ne peux pas faire d"omelette . Condition suffisante Parmi ces deux phrases , laquelle semble correcte : (1) Pour casser des oeufs il suffit de faire une omelette (2) Pour faire une omelette il suffit de casser des oeufs Dans cet exemple, la condition suffisante est faire une omelette donc :

Faire une omelette

? je casse des oeufs ( 2 ) ( La condition suffisante est à gauche) Si je fais une omelette Alors je casse des oeufs (3 )

Exercice :

Trouver dans chaque cas la condition nécessaire et la condition suffisante et écrire les phrases avec le symbole d"implication

Cas Condition 1 Condition 2

1 Il pleut Il y a des nuages

2 Il y a de l"essence dans le réservoir de la voiture Le moteur de la voiture tourne

3 AI = IB I est le milieu du segment [ AB ]

4 Les points A , B , C sont alignés et sont colinéaires

5 I est le milieu de [AB] =

6 Dans le triangle ABC , = 60° et

= 60° Le triangle ABC est isocèle en A

A retenir !

Lorsque l"implication " Si P alors Q » est vraie, on dit que : P est une condition suffisante pour Q : il suffit que P soit vraie pour que Q soit vraie Q est une condition nécessaire pour P : Si P est vraie, alors nécessairement ( obligatoirement ) Q est vraie Lorsque P et Q sont équivalentes, on dit que P est une condition nécessaire et suffisante pour Q

Exemple :

" Les diagonales d"un quadrilatère ABCD se coupent en leur milieu et sont perpendiculaires » est une condition nécessaire et suffisante pour " ABCD est un losange ».

Exercice 2 :

Dans chaque cas, on donne deux propositions ; trouver les implications éventuelles liant les 2 propositions a) et b)

1. a) x² - 2x = 0 b) x = 0

2. a) ABCD est un trapèze b) ABCD est un parallélogramme

3. a) ABCD est un rectangle b) ABCD est un parallélogramme

4. a) x > 1 b) x > 2

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