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1.3 Critères et conditions suffisantes de convergence uniforme :
Vu l'importance de la convergence uniforme on donne quelques critères ou conditions suffisantes de telle convergence.
On donne d'abord une définition plus générale de cette notion :1.3.1 Définition générale de la convergence uniforme :
Soient X et Y deux espaces topologiques; E un espace métrique muni d'une distance d A une partie de Y et a A. On
dit qu'une fonction f de X A dans E tend vers la fonction de X dans E uniformément dans X quand y tend a avec y
A ssi :
> 0, V a voisinage de a tel que : y V aA, x X : d(f(x, y), (x)) .
(le voisinage V a de a ne dépend donc que de et pas de x).Exemple : si on prend Y =
{+ }, a = +, A = et, pour tout x de X et tout entier naturel n, f(x, n) = f n (x), on retrouve la définition d'une suite de fonctions tendant vers uniformément dans X. (les ensembles [N, + ] constituant une base de voisinage de +).1.3.2 Critère de Cauchy uniforme :
Avec les mêmes notations que la définition précédente, on suppose de plus que E est un espace métrique complet. Une
fonction f de X A dans E converge uniformément sur X vers une fonction de X dans E quand y tend a avec y A
ssi : > 0, V a voisinage de a tel que : y V aA, y' V
aA, x X : d(f(x, y), f(x, y')) .
Démonstration : elle utilise le
Lemme (Critère de Cauchy généralisé) : Soit Y un espace topologique, A une partie de Y, a A et E un espace
métrique complet. Une application g de A dans E admet une limite quand y tend vers a avec y A ssi :
> 0, V a voisinage de a tel que : y V aA, y' V
aA : d(g(y), g(y'))
Démonstration du lemme : Soit g vérifiant les conditions du lemme. Pour = 1 il existe un voisinage V
1 de a tel que pour tous y et y' de V 1 A : d(g(y), g(y')) 1. De même, pour = 1/2, il existe un voisinage W 2 de a tel que pour tous y et y' de W 2A : d(g(y), g(y')) 1/2.Posons V
2 = W 2 V 1 . On construit ainsi aisément par récurrence une suite V n (pour n1) de voisinages de a, décroissante (pour l'inclusion), telle que :
y V nA, y' V
nA : d(g(y), g(y')) 1/n.
Pour n 1 soit x
n V n A. Si p et q sont des entiers tels que q p n on a x p et x qéléments de V
pA puisque (V
n ) est décroissante d'où : d(g(x p ), g(x q )) 1/p. Cette inégalité prouve que la suite (g(x n )) de E est de Cauchy, doncconvergente vers l de E et en passant à la limite quand q tend vers + elle montre que pour tout p 1, d(g(x
p ), l)1/p. Montrons que g tend vers l quand y tend vers a, y A. Soit
> 0. Il existe un entier r tel que 2/r < .Soit y V
rA; on écrit :
d(g(y), l) d(g(y), g(x r )) + d(g(x r ), l) 1/r + 1/r = 2/r . Donc )(lim Aya,y yg = l. La condition nécessaire, facile, est laissée en exercice. Fin de la démonstration : supposons que f vérifie : (*) > 0, V a voisinage de a tel que : y V aA, y' Va
A, x X : d(f(x, y), f(x, y')) .
Fixons x : le lemme prouve que la fonction y
f(x, y) admet une limite (x) quand y tend vers a, y A. Dans (*) faisons tendre y' vers a; on obtient : > 0, V a voisinage de a tel que : y V aA, x X : d(f(x, y), (x))) ,
ce qui signifie que f tend vers quand y tend vers a, y A, uniformément dans X. La condition nécessaire, facile, est laissée en exercice. Comme dans l'exemple précédent, en prenant A = {+}, a = +, A = et successivement : f(x, n) = f n (x), puis f(x,n) = n k k xf 0 )( on obtient : Corollaire : critères de Cauchy uniforme pour les suites et séries de fonctions : (i) Une suite (f n) de fonctions de X (espace topologique) dans E, espace métrique complet converge uniformément dans
X ssi :
> 0, N tel que : p N, q N, x X : d(f p (x), f q (x)) (ii) Soit (f n) une suite de fonctions de X (espace topologique) dans E, espace de Banach. La série de fonctions
n k k xf 0 converge uniformément dans X ssi : > 0, N tel que : p N, q p, x X : q pkk xf)( .(on obtient (ii) en considérant dans E la distance associée à la norme . et définie par : d(x, y) = ||x - y||).
1.3.3 Convergence normale :
Définition : Soit une suite (f
n ) de fonctions de X (espace topologique) dans E, espace de Banach. On dit que la série de fonctions n k k xf 0 )( est normalement convergente dans X si et seulement s'il existe une suite réelle (a n ) telle que : la série n a est convergente et : n , x X : ||f n (x)|| a nRemarque : cela équivaut à dire que )(Supxf
nXx est le terme général d'une série convergente.L'intérêt des séries normalement convergentes est qu'elle donnent une condition suffisante de convergence uniforme
Théorème : Avec les notations précédentes, si la série de fonctions n k k xf 0 )( est normalement convergente dans X alors elle y est uniformément convergente.Démonstration : soit > 0; d'après le critère de Cauchy pour les séries réelles, il existe N tel que : p N,
q p : q pkk a . Pour de tels entiers on a, pour tout x de X : q pkkq pkkq pkk axfxf)()( , d'où le résultat grâce au critère de Cauchy uniforme pour les séries de fonctions.Donnons deux exemples d'applications :
Exercice 1
Une série entière de rayon de convergence R non nul converge normalement pour |z| pour tout réel [0, R[.