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3°) Condition nécessaire et suffisante, condition équivalente 5°) Exercices Exercice 1 : Dire si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses : a) Pour avoir
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( La condition suffisante est à gauche) Si je fais une omelette Alors je casse des œufs (3 ) Exercice : Trouver dans chaque cas la condition nécessaire et la
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"Trouver une condition nécessaire et suffisante pour que A soit vraie", il s'agit de trouver une condition B telle que A ⇐⇒ B 2 Page 3 Exercice 1 1 Donner un
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10 sept 2006 · Exercice 4 Ecrire sous forme de formule mathématique l'assertion suivante Pour tout Sur R, c'est une condition nécessaire et suffisante
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ABCD est un parallélogramme est une condition nécessaire pour que ABCD soit un losange Lorsqu'une condition est `a la fois nécessaire et suffisante, on a alors équivalence (« si Exercice 4 : complément (raisonnement par l'absurde)
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Solution : Le théorème de Pythagore est une condition nécessaire et suffisante (l' énoncer) Exercice I 7 Ch1-Exercice7 Soit n ∈ N et soient les deux propositions :
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n est pair (nécessaire) Exercices 5 Donner une ou plusieurs condition nécessaire et suffisante (CNS) pour que a) un entier n soit divisible par 3 la somme de
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Conditions nécessaire et suffisante □ Inéquations et carrés ( exercice 12) □ Configurations et vecteurs ( exercice 13) □ Activité transversale sur les notions
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Donner une condition nécessaire et non suffisante pour qu'un entier naturel soit divisible par 6 Exercice 4 Soit f une application de R dans R Considérons l'
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– Notion de condition nécessaire, condition suffisante 3 Les quantificateurs Soit P(x) une proposition dépendant de x L'énoncé : [∀
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Exercices de logique
I Un peu de bon sens
Exercice 1 Complétez les phrases exclusivement avec les mots CAR ou DONC b)Je ne suis pas Européen DONC je ne suis pas Allemand.c) Il pleut DONC le feu ǯ"-... - ± d) y²=9 CAR y=3
e) Le nombre a est inférieur à 5 CAR a est inférieur à 3 f) xԖ>-1;4] DONC xԖ[-2;5]
Exercice 2 Complétez les phrases exclusivement avec les mots : SI, ALORS, DONC, COMME,LORSQUE
b) ABCD est un parallélogramme, ALORS ses diagonales se coupent en leur milieu. c) COMME I est le milieu de [AB], on a AI=IB. d) Le triangle ABC est inscrit dans un cercle de diamètre [BC], DONC Il est rectangle en A.Exercice 3
1 La proposition " arriver à la gare avant 10h » est-elle une condition " nécessaire », / " suffisante » /
" nécessaire et suffisante » pour " attraper le train de 9h30 » ? grand que 10.Le nombre est plus grand que quinze
vérifiée pourtant 12>10 suffisante Dans chaque cas justifiez.Condition A Condition B
2 x ߳ Q (suffisant) x ߳
3 (nécessaire et suffisante). A est équidistant des extrémités de ce segment (nécessaire et suffisante) .5 f² est paire (nécessaire) f est paire (suffisante)
6 ABCD est un rectangle (rien) ABCD est un losange (rien)
7 n est divisible par 4 (suffisant) n est pair (nécessaire)
Exercices 5 Donner une ou plusieurs condition nécessaire et suffisante (CNS) pour que...a) un entier n soit divisible par 3 la somme de ses chiffre est divisible par 3 ...ǯ-
multiple de3 d) Un rectangle est un carré un rectangle à deux côtés consécutifs de même mesure e) Deux droites sont parallèles une troisième droite leur est perpendiculaire f) Une fonction f admet un extremum en a Négation
Rappel : quand on cherche la négation, on commence par inverser un quantificateurs négation de la " conclusion » , attention le contraire de A et B sera nonA ou nonB , et le contraire de A ou B sera nonA et nonB. Exercice 6 Soit a, b, c des réels. Ecrire la négation des propositions suivantes : pas rouge2. il existe un mouton écossais dont au moins un côté est noir; tous les moutons écossais ont aucun de
leur côté noir3. Pour tout e > 0, il existe ݍ߳7כ
Il existe un e strictement positif tel que pour tout rationnel strictement positif ݍ, ݍRA Remarque : techniquement la négation de -OMOA est -RM ou ݍRA or ici on prend ݍ strictement positif donc la possibilité " -RM » est inutile.4. Pour tout x߳9, on a x² < 0.
5. Tous les habitants de la rue du Havre qui ont les yeux bleus gagneront au loto et prendront leur
retraite avant 50 ans.Il existe au moins des habitants de la rue du Havre ayant les yeux bleus qui ne gagnera pas au loto ou
qui ne prendra pas sa retraite avant 50 ans.6. Tout triangle rectangle possède un angle droit Il existe au moins un triangle sans angle droit
7. a -2 ou a3 ܽPFt et ܽOu autrement dit ܽ
8. a 5 et a > -1 ܽPw ou ܽ
9. Dans toutes les prisons tous les détenus détestent tous les gardiens
Il existe au moins une prison ou au moins un détenu ne déteste pas au moins un des gardiens.10. a 5 ou 3 > c ܽ
Exercice 7 Soit P, Q, R des propositions. Dans chacun des cas suivants, les propositions citées sont-elles
la négation l'une de l'autre ?1. (P et Q) ; (non P et non Q) ; non la négation est " ݊݊ܲ ou ݊݊ܳ
Q »
3. (P ou Q) ; (P et Q). non , la négation sera ݊݊ܲ
Connecteurs et logique
Exercice 5
Traduisez les propositions suivantes en langage propositionnel. On note p : les chiens aboient et q : la
caravane passe. a Si la caravane passe, alors les chiens aboient. Q ฺ P c La caravane ne passe pas ou les chiens aboient. ݊݊ܳ ou ܲ Exercice 6 Dans chaque cas, y a-t-il équivalence entre la proposition A et la proposition B ? ouvre la porte. A : Pour tout x ߳9, il existe y ߳9, y < x B : Il existe y ߳9, pour tout x ߳