2×aire(ABC) = AK x BC = AB x JC = BL x AC K est le pied de la hauteur issue de A Page 4 Seconde Repérage et configurations du plan 4
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[PDF] Repérage et configurations du plan
2×aire(ABC) = AK x BC = AB x JC = BL x AC K est le pied de la hauteur issue de A Page 4 Seconde Repérage et configurations du plan 4
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Seconde Repérage et configurations du plan
1I Repères et coordonnées
a) Repères Définition : (O ;I,J) est un repère GX SOMQB HO HVP ŃRQVPLPXp G·XQ PULSOHP GH SRLQPV QRQ alignés.O est appelé origine du repère
La droite graduée (O H HVP O·M[H GHV MNVŃLVVHVB La droite graduée (O - HVP O·M[H GHV ordonnées.3 types de repères (selon le maillage) :
Repère
orthonormalLa maille est un carré.
Les axes sont
perpendiculaires en O etOI = OJ.
Repère
orthogonalLa maille est un rectangle.
Les axes sont
perpendiculaires en O. LRepère
quelconqueLa maille est un
parallélogramme b) FRRUGRQQpHV G·XQ SRLQP GMQV XQ UHSqUHSoit M un point du plan muni du repère
(O ;I,J). M est repéré par un unique couple de réels (x ;y).On dit que (x ; y) est le couple des
coordonnées du point M dans ce repère. [ HVP MSSHOp O·abscisse HP \ O·ordonnée.Seconde Repérage et configurations du plan
2 c) FRRUGRQQpHV GX PLOLHX G·XQ VHJPHQP Soient A(xA ; yA) et B(xB ; yB GHX[ SRLQPV GX SOMQ PXQL G·XQ UHSqUH (O ;I,J), alors le milieu I du segment [AB] a pour coordonnées©¨§xA + xB2 ; ¹¸·yA + yB
2.II Distance entre deux points du plan
Propriété : A(xA ; yA) et B(xB ; yB VRQP GHX[ SRLQPV G·XQ repère orthonormal (O ;I,J).La distance de A à B est donnée par :
AB = (xB ² xA)² + (yB ² yA)²
Démonstration :
On suppose, comme sur la figure, que xB > xA et yB > yA.On note C le point tel que xC = xB et yC = yA.
Dans le triangle ABC rectangle en C, on peut appliquer le théorème de Pythagore :AB² = AC² + BC²
Soit : AB² = (xB ² xA)² + (yB ² yA)² Donc AB = (xB ² xA)² + (yB ² yA)² (car AB est positif.)Seconde Repérage et configurations du plan
3III Configurations du plan
a) TrianglesLHV GLYHUV ŃHQPUHV G·XQ PULMQJOH
O centre du cercle circonscrit
O est le point de concours des 3
médiatrices des côtés du triangle.OA = OB = OC
I centre du cercle inscrit
I est le point de concours des 3
bissectrices des angles du triangle.IP = IQ = IR
G centre de gravité
G est le point de concours des 3
médianes.AG = 2
3AA·
H orthocentre
H est le point de concours des trois
hauteurs.2aire(ABC) = AK x BC = AB x JC = BL x
ACK est le pied de la hauteur issue de A.
Seconde Repérage et configurations du plan
4Demi-cercle et triangle rectangle
ABC est un triangle et $ le cercle de diamètre BC.Propriété :
ABC est rectangle en A si, et seulement si, [BC] est un diamètre du cercle circonscrit à ABC.Propriété :
ABC est rectangle en A si, et seulement si, la médiane [AI] a pour longueur la moitié de la longueur de [BC].Théorèmes de Pythagore et de Thalès
Théorème de Pythagore :
Si ABC est un triangle rectangle en A, alors
BC² = AB² + AC²
Réciproque du théorème de Pythagore :
ABC est un triangle
Si BC² = AB² + AC² alors ABC est un triangle rectangle en AThéorème de Thalès :
Les points A, B, D sont alignés et les points A, C, E sont alignés. Si les droites (BC) et (DE) sont parallèles, alors : ABAD = AC
AE = BC
DERéciproque du théorème de Thalès :
Les points A, B, D sont alignés et les points A, C, E sont alignés. Si ABAD = AC
AE, alors les droites (BC) et (DE) sont parallèles.Cas particulier : la droite des milieux
Soit ABC un triangle et I le milieu du côté [AB].Théorème de la droite des milieux
La droite qui joint les milieux de deux côtés G·XQ PULMQJOH HVP SMUMOOqOH MX PURLVLqPH Ń{PpBThéorème réciproque
IM GURLPH TXL SMVVH SMU OH PLOLHX G·XQ Ń{Pp G·XQ triangle et qui est parallèle à un deuxième côté coupe le troisième côté en son milieu.IJ = 1
2 BCSeconde Repérage et configurations du plan
5 b) Quadrilatère Définition : Un losange est un quadrilatère qui a quatre côtés de même longueur.Propriété caractéristique : Un losange est un quadrilatère qui a des diagonales qui ont le
même milieu et qui sont perpendiculaires. Définition : Un rectangle est un quadrilatère qui a quatre angles droits.Propriété caractéristique : Un rectangle est un quadrilatère qui a des diagonales qui ont le
même milieu et qui sont de même longueur.Définition : Un carré est un quadrilatère qui a quatre angles droits et quatre côtés de même
longueur.Propriété caractéristique : Un carré est un quadrilatère qui a des diagonales qui ont le même
milieu, la même longueur et qui sont perpendiculaires.Définition : Un parallélogramme est un quadrilatère qui a ses côtés opposés parallèles deux à
deux.Propriété caractéristique : Un parallélogramme est un quadrilatère qui a des diagonales qui
ont le même milieu. c) Angles Angles formés par deux parallèles et une sécante Angles correspondants Angles alternes internes Angles alternes externes (AE) // (BF)