[PDF] [PDF] Coniques TD Fiche 9 - Qq corrigés Exercice 6 Le plan étant - Free

[PDF] Exercices coniques corrigés - DevoirTN

1-) d-) Déterminer une équation cartésienne de la parabole (P) de foyer F(1, 2) et de directrice D dans les cas suivants: α-) D = (AB) avec A(0, 1) et B(3, 0)

[PDF] Exercices - Coniques : corrigé Équations des coniques

Exercices - Coniques : corrigé Exercice 1 - Réduction de l'équation d'une conique - 1 Le discriminant de cette conique vaut 0 : elle est du genre parabole

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Cahier d'exercices – Les coniques Mathématiques SN5 CORRIGÉ LES LIEUX GÉOMÉTRIQUES ET CONIQUES - CORRIGÉ Le cercle (Pages 81 à 86)

[PDF] Chapitre 12 CONIQUES Enoncé des exercices - HUVENT Gery

Déterminer la nature de C (ellipse, hyperbole, parabole), l'axe focal, les coordonnées des sommets principaux A et A', secondaires B et B', du centre , du  

[PDF] Exercices de Mathématiques : coniques

EXERCICE 2 Le plan (P) est rapporté au rep`ere orthonormal ( 0, i, j ) Soit (C) la courbe d'équation : x2 − 3y2 + 8x + 12y + 16 = 0 1

[PDF] Coniques TD Fiche 9 - Qq corrigés Exercice 6 Le plan étant - Free

j ) 1) Soit C : 2x2 + xy + y2 + 4x − y − 2=0 • Le discriminant de C est ∆=1 − 8 = −7 < 0 Donc C est du genre ellipse • Recherche du centre Ω(x0, y0)

[PDF] Daniel Alibert - Cours et exercices corrigés - volume 9 - Walanta

L'intersection de F'P et de la médiatrice de FP est un point de la conique Construction des sommets Ellipse, hyperbole Soit une conique à centre de foyer F et 

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Exercices sur les Coniques Christian CYRILLE 5 novembre 2008 ”Racontez l' odyssée d'une jeune conique en mal d'excentricité qui, échappée de ses foyers,  

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Corrigé de l'épreuve diagnostique sur les préalables 0 25 Équation d'une conique à partir des caractéristiques d'une Corrigé des exercices

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= - + - - = ≅ > = donc B est en dehors du cercle (distance entre le point B et le centre C du cercle) Correction exercice 3 1) a)

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PCSI2

Lycée Corneille

2010/2011Coniques

TD Fiche 9 - Qq corrigés

Exercice 6Le plan étant rapporté à un repère orthonormal, déterminer la nature et les éléments caractéristiques des

coniques suivantes et les représenter: 1)

2x2+xy+y2+ 4xy2 = 0

2) x

2+ 8xy5y228x+ 14y+ 3 = 0

3) x

22xy+y26x10y+ 9 = 0

Correction -Le plan est rapporté à un repère orthonormal(O;!i ;!j). 1)

SoitC: 2x2+xy+y2+ 4xy2 = 0.

Le discriminant deCest = 18 =7<0. DoncCest du genre ellipse.

Recherche du centre

(x0;y0). Les formules de changement de repère du repère(O;!i ;!j)vers le repère( ;!i ;!j)sont( x=X+x0 y=Y+y0. Formules que l"on injecte dans l"équation deCpour obtenir: M(X;Y)2 C ,2(X+x0)2+ (X+x0)(Y+y0) + (Y+y0)2+ 4(X+x0)(Y+y0)2 = 0 ,2X2+XY+Y2+ (4x0+y0+ 4)X+ (x0+ 2y01)Y+= 0: On cherche à annuler les termes enXetY, on résout alors(

4x0+y0=4L1

x

0+ 2y0= 1L2. Alors2L1L2donne7x0=9i.e.

x 0=9 7 . EtL14L2donne7y0=8i.e.y0=8 7 . D"où 9 7 ;8 7 Une équation cartésienne deCdans le repère(O;!i ;!j)est

2X2+XY+Y2+ 29

7 2 9 7 8 7 +8 7 2 49
7 8 7

2 = 0,2X2+XY+Y2+ 236

7 = 0 () Suppression des termes mixtes. Les formules de changement de repère, du repère( ;!i ;!j)vers le repère( ;!u;!v)sont(

X= cosx0siny0

Y= sinx0+ cosy0, que l"on injecte dans l"équation()deCpour obtenir

2(cosx0siny0)2+ (cosx0siny0)(sinx0+ cosy0) + (sinx0+ cosy0)236

7 = 0: On cherche à annuler le terme mixte enx0y0qui est

4sincos+ cos2sin2+ 2sincos= cos(2)sin(2):

Donc= 8 convient. Une équation cartésienne deCdans ;!u 8 ;!v 8 est donc: 2cos2 8 + sin 8 cos 8 + sin2 8 x02+ 2sin2 8 sin 8 cos 8 + cos2 8 y0236 7 = 0: Or cos 2 8 =1 + cos2 8 2 =1 +p 2 2 2 =2 +p 2 4 sin2 8 =1cos2 8 2 =1p 2 2 2 =2p 2 4 sin 8 cos 8 =1 2 sin2 8 =p 2 4

Par conséquent:

M(x0;y0)2 C ,3 +p

2 2 x02+3p 2 2 y02=36 7 ,x02 72
7(3+ p 2) +x02 72
7(3p 2) = 1 x02 6p 2 p 7(3+ p 2) 2+x02 6p 2 p 7(3p 2) 2= 1

Observons que

6p 2 p 7(3+ p 2) <6p 2 p 7(3p 2) . Par conséquent,Cest l"ellipse de centre 9 7 ;8 7 , de demi grand axe 6p 2 p 7(3p 2)

2:55)dirigé par!v

8 et de demi petit-axe6p 2 p 7(3+ p 2) (1:53). D"où le tracé deC. Pour le tracé, déterminons l"intersection deCavec(Oy), pourx= 0: y

2y2 = 0,(y2)(y+ 1) = 0,y= 2ouy=1:

Puis l"intersection deCavec(Ox), poury= 0:

2x2+ 4x2 = 0,x2+ 2x1 = 0,x=2p

8 2 =1p 2: 1 ?5 8 2)

SoitC:x2+ 8xy5y228x+ 14y+ 3 = 0.

Le discriminant deCest = 64 + 45>0. DoncCest du genre hyperbole.

Recherche du centre

(x0;y0). Les formules de changement de repère du repère(O;!i ;!j)vers le repère( ;!i ;!j)sont( x=X+x0 y=Y+y0. Formules que l"on injecte dans l"équation deCpour obtenir: M(X;Y)2 C ,(X+x0)2+ 8(X+x0)(Y+y0)5(Y+y0)228(X+x0) + 14(Y+y0) + 3 = 0 ,X2+ 8XY5Y2+ (2x0+ 8y028)X+ (8x010y0+ 14)Y+= 0: On cherche à annuler les termes enXetY, on résout alors(

2x0+ 8y0= 28

8x010y0=14,(

x

0+ 4y0= 14L1

4x05y0=7L2.

Alors5L1+ 4L2donne21x0= 42i.e.x0= 2. Et4L1L2donne21y0= 63i.e.y0= 3. D"où (2;3) Une équation cartésienne deCdans le repère(O;!i ;!j)est X

2+ 8XY5Y2+ 22+ 823532282 + 143 + 3 = 0,X2+ 8XY5Y2+ 224 = 0 ()

Suppression des termes mixtes. Les formules de changement de repère, du repère( ;!i ;!j)vers le repère( ;!u;!v)sont(

X= cosx0siny0

Y= sinx0+ cosy0, que l"on injecte dans l"équation()deCpour obtenir (cosx0siny0)2+ 8(cosx0siny0)(sinx0+ cosy0)5(sinx0+ cosy0)24 = 0: On cherche à annuler le terme mixte enx0y0qui est

2sincos+ 8(cos2sin2)10sincos= 8(cos2sin2)12sincos:

On ne va pas chercher à déterminer une mesure exacte, mais déterminervia son sinus et son cosinus. On a en divisant par

cos 2, 8(cos

2sin2)12sincos= 0, 2tan23tan+ 2 = 0,(2tan1)(tan+ 2),8

:tan=1 2 ou tan=2:

Choisissons2[0;

2 ]tel quetan=1 2 . Alors cos 2=1

1 + tan

2=4 5 sin2= 1cos2=1 5

Le choix de2[0;

2 ]donne8 :cos=2 p 5 sin=1 p 5 . Une équation cartésienne deCdans ;!u;!vest donc: cos2+ 8sincos5sin2x02+sin28sincos5cos2y024,3x027y02= 4 x02 2 p 3 2+y02 2 p 7 2= 1 2

Par conséquent,Cest l"hyperbole de centre

(2;3), de demi axe2p3(1:15)dirigé par!u. Commetan=12, l"axe focal est de pente 1 2 . Enfin les asymptotes sont de pentep3 p 7 dans le repère( ;!u;!v).

D"où le tracé deC.

Exercice 7Dans un repère où une parabolePpossède une équation réduite, déterminer l"ensemble des projections

orthogonales du foyer sur les tangentes àP. Correction -La parabole a pour équation réduitey2= 2pxdans le repèread hoc.

SoitTune tangente àPenM(x0;y0)alorsTest la médiatrice de[FH]oùHest le projeté orthogonal deMsur la directrice. Donc le

projeté orthogonalIdeFsurTest le milieu de[FH]. OrFa pour coordonnéesp 2 ;0 etHa pour coordonnées p 2 ;y0 . Les coordonnées

deIsont donc(0;y0). QuandMdécrit tous les points de la parabole, le pointIdécrit tous les points de la droite d"équationx= 0dans le

repère considéré.

L"ensemble cherché est donc la droite perpendiculaire à l"axe focal dePpassant par le sommet dePi.e. l"axe(Oy)dans le repère initial.

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