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Exercice 3 3 points

La suite (un) est définie par :u0=0 et pour tout entier naturel n, un+1=1 2-un.

1.a. A l'aide du calcul des premiers termes de la suite (un), conjecturer la forme explicite de

un en fonction de n. Démontrer cette conjecture.

1.b. En déduire la limite l de la suite (un).

2. Compléter, dans l'ANNEXE, l'algorithme permettant de déterminer la valeur du plus petit entier n

tel que : ∣un+1-un∣⩽10-3.

ANNEXE

(à rendre avec la copie) Variables : n, a et b sont des nombres

Initialisation : n prend la valeur 0

a prend la valeur 0 b prend la valeur 0,5 Traitement : Tant que | b - a | . . . . . n prend la valeur . . . . . a prend la valeur . . . . . b prend la valeur . . . . .

Fin Tant que

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CORRECTION

(un) est la suite définie par : u0=0 et pour tout entier naturel n un+1=1 2-un.

1.a. u1=1

2-0=1 2 u2=1 2-1 2 =2

3 u3=1

2-2 3 =3

4 u4=1

2-3 4 =4

5 Conjecture

Pour tout entier naturel n un=n

n+1.

Démonstration de la conjecturer

On veut démontrer, en utilisant un raisonnement par récurrence, que pour tout entier naturel n,

on a un=n n+1. . Initialisation

Pour n=0

0

0+1=0 et u0=0

La propriété est vérifiée pour n=0.

. Hérédité

Pour démontrer que la propriété est héréditaire , pour tout entier naturel n, on suppose que

un=n n+1 et on doit démontrer que un+1=n+1 n+2. Or un+1=1 2-un =1 2-n n+1 =n+1

2(n+1)-n=n+1

n+2 . Conclusion Le principe de récurrence nous permet d'affirmer que pour tout entier naturel n, on a un=n n+1.

1.b. Pour tout entier naturel n :

un=n n+1=n+1-1 n+1=1-1 n+1 limn→+∞ 1 n+1= 0 donc limn→+∞un= 1. 2. Variables : n, a et b des nombres Initialisation : n prend la valeur 0 a prend la valeur 0 b prend la valeur 0,5 Traitement : Tant que | b-a | > 10-3 n prend la valeur n+1 a prend la valeur b b pend la valeur 1 2-b

Fin Tant que

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