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Théorème (Limites et inégalités larges) Soient (un)n∈ et (vn)n∈ deux suites réelles possédant une limite finie Si : un ⩽ vn à partir d'un certain rang, alors : lim n 

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Ainsi, (un) est croissante majorée par v0, donc converge vers une limite finie De même, (vn) est décroissante minorée par u0, donc converge Ainsi un et vn 

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Convergence de suites réelles - Notion de point adhérant à un Proposition : Si f admet une limite finie en a alors elle est unique Preuve : Par l'absurde

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Nous commençons par la convergence en un point, vers une limite finie de la définition 3, alors pour toute suite (xn) convergeant vers a, la suite (f(xn)) tend

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n∈N converge vers 0 et la suite (f (wn)) n∈N diverge Cette constatation montre également que la fonction f n'a pas de limite en 0 ❏ 1 2 Limite finie en ±∞

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Elle n'admet donc pas de limite finie, ni infinie Elle est donc divergente 3) Limites des suites usuelles Propriétés : - lim n→+∞

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Suites CV, DV, théorème des gendarmes (pour les suites) A connaître : - définitions : limite ∞ - Suite croissante non majorée (resp ) - limite finie - Limite en 

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Limite finie ou infinie d'une suite Dans le cas d'une limite infinie, étant donnés une suite croissante ( un ) et un nombre réel A, déterminer 

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5 nov 2010 · Une suite réelle (un) converge vers une limite l ∈ R si ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N, Prouvons par exemple le cas où les deux suites ont une limite finie, 

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Exposé 62 : Limite d"une fonction à valeurs réelles en un point a de?. Opérations algébriques sur les limites. Continuité d"une fonction en un point. Exemple.

Pré requis :

- Convergence de suites réelles - Notion de point adhérant à un ensemble

Dans tout l"exposé,

fdésigne une fonction numérique réelle, définie sur un intervalle I d"intérieur non vide et a est un point adhérant à I fD désigne le domaine de définition de la fonctionf.

1) Limites finie en un point.

a) Définition et propriétés

Définition : fadmet lpour limite en a si :

Proposition : Si

fadmet une limite finie en a alors elle est unique.

Preuve : Par l"absurde.

Exemple : cos en 1 ....

Proposition :

S une fonctionf, définie ena, admet une limite finiel ena, alors l= f(a).

On dit alors que f est continue ena.

Preuve :

Or

Propriété : Si

fadmet une limite finie ena, alors il existe un voisinage de a dans le quel fest bornée.

Preuve : soit

On pose

1M l= +,

Exemple : ...

Remarque : la réciproque est fausse contre exemple 0

1limsinxx→

( )( )( )n"existe pas alors que le sinus est borné b) Limite à gauche, limite à droite

Définition : On dit que fadmet l pour limite à gauche (resp. à droite) en a si la restriction

de fà ][,fD a∩ -∞ (resp.][,fD a∩ +∞) admet l pour limite ena.

On note alors lim ( )

x af x l-→= (resp.lim ( ) x af x l+→=)

Théorème :

fadmet l pour limite en a (cas oùa I? ?) si et seulement si fadmet la même limite à gauche et à droite en a.

Preuve :

? Évident

Exemple : la partie entière admet pour limite à droite et une limite à gauche en tout point de

ade?, et une limite en asi et seulement si \a?? ?

Remarque : toutes les propriétés sur les limites restent vraies pour les limites à droite et à

gauche.

2) Propriétés algébriques, comparaison sur les limites,

composition. a) Propriétés algébriques Théorème : Soient fetg deux fonctions, f ga D D? ∩ Si lim ( ) x af x l →=etlim ( ) " x af x l →=,λ??, alors : 1. lim( ( ) ( )) " x af x g x l l 2. lim( ( )) " x afg x ll 3. si l"0≠,lim( ( ))"x a f lxg l→= 4. lim( ( )) x af x lλ λ

Preuve :

1. 2. ( , )( ) " " " sup ( ) " x B a Df Dgfg ll fg gl gl ll g f l l g l g f l l g l 3.

1 1 " 1"" " "

l gl gg l l g l g voisinage et donc que le premier terme est borné. 4. Application on montre que les fonctions polynômes admettent une limite finie en tout point ade?. b) Comparaisons Proposition : Si fest positive au voisinage dea, et admet une limite l finie ena, alors l est positive ou nul.

Preuve :

lim ( ) lim ( ) 0 x a x al f x f x l

Théorème : si

x af x l →=,lim ( ) " x ag x l Preuve : on utilise la proposition à la fonction h g l= -qui est positive au voisinage dea.

Proposition : Existence de limite par encadrement

Soientf,g,h trois fonction définies sur Idans ? telles que lim ( ) lim ( )x a x af x h x l→ →= = ??

Remarque : cette proposition permet de montrer l"existence d"une limite, contrairement au théorème précédant.

Preuve :

Soient

f,g,h trois fonction définies sur Idans ? telles quelim ( ) lim ( )x a x af x h x l→ →= = ??.

Au voisinage de

a, (blablabla sur les conditions comment d"hab.) Donc

0g f- →

Comme ( ) ,lim ( ) lim( )( ) lim ( ) 0

x a x a x ag g f f g x g f x f x l l

Exemple : a trouver sur le tas

c) Composition Théorème : Soit gune application admettant pour limite l??ena. Si f est une fonction à valeur dans gDadmettant apour limite en0t??, alors la fonction g f? admet lpour limite en 0t

Preuve : Soit

Soit

Exemple :

Sachant que

0 sinlim 1 x x x→=, en déduire que 2 2

0sinlim 1

x x x→=.quotesdbs_dbs29.pdfusesText_35