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S Asie juin 2017

Exercice 2 3 points

On considère la suite (un) définie par :

u0=1 et pour tout entier naturel n, un+1=(n+1

2n+4)un .

On définit la suite (vn) par pour tout entier naturel n : vn=(n+1)un.

1. La feuille de calcul ci-dessous présente les valeurs des premiers termes des suites (un) et (vn), arrondies

au centmillième.

Quelle formule, étirée vers le bas, peut-on écrire dans la cellule B3 de la feuille de calcul pour obtenir les

termes successifs de (un) ?

2.a. Conjecturer l'expression de (vn) en fonction de n.

2.b. Démontrer cette conjecture.

3. Déterminer la limite de la suite (un).

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CORRECTION

(un) est la suite définie par u0=1 et pour tout entier naturel n, un+1=(n+1

2n+4)un.

1. On écrit dans la cellule B3 :

=((A2+1)/(2*A2)+4))*B2

2.a. En regardant la feuille de calcul, on conjecture, por tout entier naturel n : vn=1

2n.

2.b. On vut démontrer que la suite (vn) est la suite géométrique de premier terme v0=1 et de raison q=1

2. v0=1

20=1 et pour tout entier naturel n :

vn+1=(n+2)un+1=(n+2)× (n+1

2n+4)un=(n+1

2)un=1

2×(n+1)un=1

2vn donc (vn) est la suite géométrique de premier terme v0=1 et de raison q=1 2.

Conséquence

Pour tout entier naturel n, on a :

vn=(1 2)n =1 2n.

3. vn=(n+1)un ⇔

un=1 n+1×vn.

0 ⩽ 1

2 < 1 donc

limn→+∞(1

2)n= 0 et limn→+∞1

n+1= 0

Conclusion

limn→+∞un= 0quotesdbs_dbs29.pdfusesText_35