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Calcul stochastique appliqué à la finance

Romuald ELIE & Idris KHARROUBI

Table des matières

1 Notion d"arbitrage 5

1.1 Hypothèses sur le marché . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2 Arbitrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3 Comparaison de portefeuilles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.4 Relation de parité Call-Put . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.5 Prix d"un contrat Forward . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Modèle binomial à une période 11

2.1 Modélisation probabiliste du marché . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2 Stratégie de portefeuille simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3 Probabilité risque neutre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.4 Evaluation et couverture d"un produit dérivé . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Modèle binomial à plusieurs périodes 21

3.1 "Rappels" de probabilité : processus discret et martingale . . . . . . . . . . .

3.2 Modélisation du marché . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.3 Stratégie de portefeuille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.4 Arbitrage et probabilité risque neutre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.5 Duplication d"un produit dérivé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.6 Evaluation et couverture d"un produit dérivé . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 Options américaines dans le modèle binomial 33

4.1 Notion de temps d"arrêt en temps discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.2 Arrêt optimal et enveloppe de Snell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.3 Evaluation des options américaines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38
3

4TABLE DES MATIÈRES

5 Calcul stochastique 41

5.1 Processus et Martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.1.1 Processus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.1.2 EspacesLp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41

5.1.3 Filtration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.1.4 Martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.1.5 Processus gaussien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.2 Mouvement brownien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.3 Variation totale et variation quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.4 Intégrale stochastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.5 Formule d"Ito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.6 Processus d"Ito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.7 Equation Différentielle Stochastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6 Modèle de Black & Scholes 77

6.1 Hypothèses sur le marché . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.2 Modélisation probabiliste du marché . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.3 Probabilité risque neutre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.4 Portefeuilles autofinançants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.5 Duplication d"un produit dérivé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.6 Formule de Black Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.7 Sensibilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Chapitre 1

Notion d"arbitrage

1.1 Hypothèses sur le marché

Dans toute la suite, nous ferons les hypothèses simplificatrices suivantes : 1.

Les act ifssont di visiblesà l"infini ;

2. Le marché est liquide : on peut acheter ou v endreà tout instant ; 3.

On peut em prunteret v endreà découv ert;

4. Les échan gesont lieu sans coûts de transaction ; 5. On peut em prunteret prêter au même taux constant r.

Ces hypothèses, bien que n"étant pas toujours vérifiées dans la réalité, constituent une pre-

mière modélisation ayant l"avantage de pouvoir fournir une évaluation des produits dérivés,

notamment à l"aide de la notion d"arbitrage que nous présentons dans la suite.

1.2 Arbitrage

De manière générale, la notion d"opportunité d"arbitrage fait référence à une situation où

un individu rationnel a la possibilité de prendre une décision qui lui permet de tirer profit de

manière certaine de l"avenir. Afin de formaliser cette notion, il faut donc mettre en place une modélisation de l"incertitude liée à l"évolution future du marché financier. 5

6CHAPITRE 1. NOTION D"ARBITRAGE

Quelles sont les évolutions possibles du marché? : ensemble des états possibles du marché;

P: Probabilité réelle (ou en tout cas anticipée) de survenance de chacun des évènements.

Toujours dans le but de formaliser cette notion d"arbitrage, il nous faut préciser la manière dont peut intervenir notre agent sur le marché.

Quelles sont les stratégies d"investissement?

Définition 1.2.1Unportefeuille autofinancantest une stratégie (non anticipative) d"achat

ou de vente de titres, actions, prêts et emprunts à la banque, et plus généralement de produits

dérivésdont la valeur n"est pas modifiée par l"ajout ou le retrait d"argent. PourtT, on noteraXtlavaleur entdu portefeuilleX. Fixer un portefeuille revient donc simplement à se donner un capital initial et une stratégie dynamique d"investissement dans les actifs du marché à partir de ce capital de départ.

Qu"est ce qu"une stratégie d"arbitrage?

Définition 1.2.2Unarbitrageentre les instants0etTest un portefeuille autofinançantXde valeur nulle ent= 0dont la valeurXTenTest positive et strictement positive avec une probabilité strictement positive : X

0= 0; XT0etP(XT>0)>0:

d"opportunités d"arbitrage(AOAen abrégé et NFL en anglais pourno free lunch) entre les

instants0etT:fX0= 0etXT0g )P(XT>0) = 0L"hypothèse signifie simplement : "Si ma richesse aujourd"hui est nulle, elle ne peut deve-

nir positive et non identiquement nulle", soit "On ne peut gagner d"argent sans capital initial". Le raisonnement (défaitiste) est : "Si il y avait un arbitrage, quelqu"un en aurait déja pro- sur les marchés.

1.3. COMPARAISON DE PORTEFEUILLES7

1.3 Comparaison de portefeuilles

Nous notons dans la suiteB(t;T)le prix entd"unzéro couponde maturitéT i:e:un actif dont la valeur enTvaut1. La valeurB(t;T)dépend du modèle choisi. Dans le cas d"un modèle en temps continu, la présence du taux d"intérêtrconduit àB(t;T) =e(Tt)alors que dans un modèle en temps discretB(t;T) = (1+r)noùndésigne le nombre de périodes entretetT. Proposition 1.3.1En AOA, si deux portefeuilles autofinançantsXetYont même valeur en

T, ils ont même valeur en 0 :

T=YT)X0=Y0:

Démonstration.SupposonsX0< Y0et proposons la stratégie suivante : A l"instantt= 0, achat deX, vente deYet placement deY0X0>0à la banque. La valeur du portefeuille à

l"instantt=TestXTYTplus ce qu"a rapporté l"argent à la banque, qui est toujours>0.en 0enTAchat de XX

TVente de YY0YTPlacement du gain à la banqueY

0X0>0(Y0X0)=B(0;T)>0Valeur0>0Donc AOA impliqueX0Y0et, de manière similaire, on obtientX0Y0si bien que

0=Y0.2

Remarque 1.3.1Pour créer un arbitrage, on a acheté le moins cher et vendu le plus cher. Etant donné qu"ils ont même valeur enT, l"opération fournit un gain positif. Proposition 1.3.2En AOA, si deux portefeuilles autofinançantsXetYont même valeur en T, ils ont presque sûrement même valeur en tout instanttT. X

T=YT)Xt=Ytpour touttTPp:s:

Ce résultat est une conséquence directe de la proposition suivante. Proposition 1.3.3En AOA, considérons deux portefeuilles autofinançantsXetY, alors : X

TYT)XtYtpour touttTPp:s:

8CHAPITRE 1. NOTION D"ARBITRAGE

Démonstration.SoittT. Proposons la stratégie suivante : en 0 : je ne fais rien. ent: Surf!2 ;Xt(!)> Yt(!)g, j"achète le portefeuilleYau prixYt, je vends le porte- feuilleXau prixXtet je place la différenceXtYt>0à la banque. Surf!2 ;Xt(!) Y t(!)g, je ne fais rien. Finalement, enT, surfXt> Ytg, je toucheYTXT0plus ce qu"a rapporté l"argent à la banque qui est toujours>0, soit une valeur>0, et surfXtYtg, la valeur du portefeuille est nulle.en tenTSurfXt> YtgAchat de Y en tY tY TVente de X en tXtXTPlacement du gain à la banqueX

Donc AOA impliqueP(Xt> Yt) = 0.2

1.4 Relation de parité Call-Put

Uncallde strikeKet d"échéanceTsur le sous-jacentSa pour payoff(STK)+; notons C tson prix à l"instantt. Unputde strikeKet d"échéanceTsur le sous-jacentSa pour payoff(KST)+; notonsPt son prix à l"instantt. Nous rappelons qu"unzero-coupond"échéanceTest un produit financier de valeur 1 enT.

Son prix entest notéB(t;T).

Alors, en AOA, les prix des calls et des puts entsont reliés par la relation deparité call put:C tPt=StKB(t;T)En effet considérons les deux stratégies de portefeuille :

1.5. PRIX D"UN CONTRAT FORWARD9entenTPort. 1Achat d"un Put européen entP

t(KST)+Achat d"un actif risqué entS tS

TValeurP

t+St(KST)++STPort. 2Achat d"un Call européen entC t(STK)+Achat deKactifs sans risque entKB(t;T)K

ValeurC

t+KB(t;T)(STK)++KRemarquons que l"on a : (KST)++ST=K1fSTKg+ST1fKSTg= (STK)++K Donc, les deux portefeuilles ont des flux finaux égaux, et donc en AOA des valeurs égales à tout instanttTce qui nous donne la relation de parité Call-Put. Remarque 1.4.1Cette relation est intrinsèque à l"absence d"opportunité d"arbitrage sur le marché et ne dépend en rien du modèle d"évolution imposé aux actifs.

1.5 Prix d"un contrat Forward

Le contrat Forward est un contrat signé à la datet= 0qui assure l"échange enTde l"actif risquéScontre un prixF(0;T)fixé ent= 0. Il n"y a aucun échange d"argent à la datet= 0. Pour déterminer le prixF(0;T)du contrat, considérons les deux stratégies de portefeuille suivantes :en0enTPort. 1Achat de l"actifS0en0S 0S TVente deF(0;T)zéros coupons en0F(0;T)B(0;T)F(0;T)ValeurS

0F(0;T)B(0;T)S

TF(0;T)Port. 2Achat du contrat Forward en00S

TF(0;T)Sous AOA on a donc

F(0;T) =S0B(0;T):

Remarque 1.5.1De manière plus générale, on obtient :

F(t;T) =StB(t;T)

pour touttT.

10CHAPITRE 1. NOTION D"ARBITRAGE

Chapitre 2

Modèle binomial à une période

Le modèle binomial est très pratique pour les calculs et la plus grande partie des résultats

obtenus se généralisent aux modèles en temps continu.

2.1 Modélisation probabiliste du marché

Considérons un marché à deux actifs et deux dates :t= 0ett= 1. Un actifsans risquequi vaut 1 ent= 0et vautR= (1 +r)ent= 1, qui représente

l"argent placé à la banque au tauxr(dans une obligation), il est sans risque dans le sens où

l"on connaît ent= 0la valeur qu"il aura ent= 1.

1!R= 1 +r

Unactif risquéSde valeurS0ent= 0et pouvant prendre deux valeurs différentes à l"instant 1 : une valeur hauteSu1=u:S0et une valeur basseSd1=d:S0avecuetddeux constantes telles qued < u. uS 0 S 0 dS 0 La modélisation probabiliste du marché est la donnée de 3 objets : ,FetP. est l"ensemble des états du monde: 2 états possibles selon la valeur de l"actif risqué ent= 1, état "haut"!uou "bas"!d. =f!u;!dg 11

12CHAPITRE 2. MODÈLE BINOMIAL À UNE PÉRIODE

Pest laprobabilité historiquesur

.P(!u) =petP(!d) = 1p. Le prix a une probabilité réellepde monter et1pde descendre. Attentionp2]0;1[car les 2 états du monde peuvent arriver. F=fF0;F1gest un couple de tribus représentant l"information globale disponible sur le marché aux instantst= 0ett= 1.

En t= 0, on ne dispose d"aucune information :

F 0=f;; g: En t= 1, on sait si l"actif est monté ou descendu : F 1=P( ) =f;; ;f!ug;f!dgg: Cette tribu représente l"ensemble des parties de dont on peut dire à l"instantt= 1si elles sont réalisées ou non. Remarque 2.1.1Bien sûr, on aF0 F1, en effet plus le temps avance plus l"on acquiert de l"information. Remarque 2.1.2Une variable aléatoire estF1-mesurable si et seulement si elle est connue

avec l"information donnée parF1, i.e. déterminée à l"instant 1. En effet, heuristiquement

Une variable aléatoireXestF1-mesurable

,L"image réciproque de tout BorélienBdeRest dansF1; ,Je peux dire ent= 1pour tout BorélienBdeRsiXest à valeur dansB; ,Je peux dire pour tout réelrsiXest dans] 1;r[ou pas; ,Je connaisXà la datet= 1.

Remarque 2.1.3F1est la tribu engendrée parS1:F

1=(S1):En effet, par définition, la tribu engendrée parS1est l"image réciproque parS1des Boréliens

deR, i.e.fS11(B);B 2 B(R)g. C"est la plus petite tribu qui rendeS1mesurable. Pour tout

BorélienBdeR,

si uS0etdS0sont dansB, on aS11(B) = si juste uS0est dansB, on aS11(B) =f!ug,

2.1. MODÉLISATION PROBABILISTE DU MARCHÉ13

si juste dS0est dansB, on aS11(B) =f!dg, et si aucun des 2 n" estdans B, on aS11(B) =;.

DoncF1est bien la tribu engendrée parS1, ce qui se réécrit :"ConnaîtreS1est équivalent à connaître tout élémentF1-mesurable"Définition 2.1.1Unproduit dérivé (ou actif contingent)est une v.a.F1-mesurable.

La valeur d"un produit dérivé dépend de l"état du monde réalisé à la datet= 1et de

manière équivalente, tout produit dérivé s"écrit comme une fonction mesurabledeS1. Proposition 2.1.1SoientXetYdeuxvariablesaléatoiressurunespacedeprobabilité( ;A;P). mesurable (borélienne). Démonstration.SiY=f(X), alors, pour tout BorélienBdeR, on a f(X)1(B) =X1f1(B)2(X): Réciproquement, siYest l"indicatrice d"un ensembleAqui est(X)-mesurable, on a :

Y=1A=1B(X)avecB=X1(A):

etf=1Bconvient. SiYest une somme finie d"indicatrice1AiavecAi2(X), la somme des1Bi, oùBi=X1(Ai), convient. SiYest positive, elle s"écrit comme limite croissante de Y n, sommes d"indicatrices qui donc s"écriventfn(X)etf=limfnconvient. (cette fonction peut valoir+1mais pas en des points atteints parX). SiYest de signe quelconque, on la

décompose en sa partie positive et sa partie négative et l"on approche les deux séparément.2

Par exemple, le call est donc un produit dérivé(S1)avec:x2R7!(xK)+ Notre problème est d"évaluer le prix à la datet= 0d"un produit dérivé. On va donc

essayer de créer un portefeuille de duplication de notre produit dérivé, i.e. une stratégie d"in-

vestissement autofinançante dans l"actif risqué et dans l"actif sans risque. L"hypothèse d"AOA

nous indiquera alors que ces deux stratégies qui ont même valeur ent= 1ont même valeur ent= 0, ce qui nous donnera la valeur en 0 de notre produit dérivé.

14CHAPITRE 2. MODÈLE BINOMIAL À UNE PÉRIODE

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