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Departement de mathematiques et de statistique

Universite Laval

Elements de mathematiques

Notes pour le cours MAT-1300

preparees par Hugo Chapdelaine (Automne 2012) et revues par Bernard R. Hodgson (Automne 2013, 2014)

23 octobre 2014

Table des matieres

1 Fondements du discours mathematique : langage et raisonnement 1

1.1 Rudiments sur les ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.1.1 Denition d'un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.1.2 Description d'un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.1.3 La cardinalite d'un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.4 Ensembles numeriques usuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.5 La relation d'inclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.6 Un ensemble paradoxal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.2Elements de logique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13

1.2.1 Propositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.2.2 Asymetrie entre le vrai et le faux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.2.3 Tables de verite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.2.4 Connecteurs logiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.2.5 Quelques propositions remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

1.2.6Equivalence logique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21

1.2.7 Quelques equivalences fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

1.2.8 Predicats et quantication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

1.3 Preuves et raisonnement mathematiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

1.3.1 Consequence logique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

1.3.2 Quatre techniques de preuves de base . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

1.4A propos de la demarche mathematique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .50

1.4.1Elements de base du discours mathematique . . . . . . . . . . . . . .51

1.4.2 Quelques actions en mathematiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57

1.4.3 Rigueur et intuition en mathematiques . . . . . . . . . . . . . . . . .

68

2 Ensembles : operations et relations 69

2.1 Operations ensemblistes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

69

2.1.1 Cinq operations elementaires sur les ensembles . . . . . . . . . . . . .

69

2.1.2 Reunions et intersections generalisees . . . . . . . . . . . . . . . . . .

77

2.1.3 Partition d'un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

81

2.1.4 Denombrement (1) : compter les elements d'une reunion . . . . . . .

84

2.2 Une operation particuliere : le produit cartesien . . . . . . . . . . . . . . . .

87

2.2.1 Couples etn-uplets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .87

2.2.2 Le produit cartesien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

89

2.2.3 Denombrement (2) : compter les elements d'un produit . . . . . . . .

92
i iiTABLE DES MATIERES

2.3 Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

93

2.3.1 Denition d'une relation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

93

2.3.2 Representation d'une relation binaire . . . . . . . . . . . . . . . . . .

97

2.3.3 Proprietes d'une relation binaire sur un ensemble . . . . . . . . . . .

97

2.4 Les relations d'ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

100

2.4.1 Denition d'une relation d'ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 00

2.4.2 Comparaison dans un ensemble ordonne . . . . . . . . . . . . . . . .

103

2.4.3 D'un ordre a un autre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

110

2.5 Les relations d'equivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

117

2.5.1 La notion d'equivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

117

2.5.2 Classes d'equivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

119

2.5.3 Relation d'equivalence induite par une partition . . . . . . . . . . . .

1 22

Chapitre 2

Ensembles : operations et relations

Les ensembles sont des structures fondamentales se retrouvant pratiquement partout en mathematiques et qui sont particulierement utiles quand vient le temps de decrire avec precision certains contextes mathematiques. Il est important d'apprendre a manipuler les ensembles, a en creer de nouveaux a partir de certains qui nous sont donnes, etc. C'est la l'objectif que vise le present chapitre.

Notation :Au Chapitre 1, la double

eche,etait reservee au contexte de la logique pro- positionnelle, servant de connecteur logique entre deux propositions exprimees a l'interieur de ce cadre symbolique. On se conformera davantage dans ce texte, a compter de mainte- nant, a l'usage habituel voulant qu'on utilise la double eche pour representer l'equivalence mathematique usuelle si et seulement si| voir a ce propos la remarque 1.14, p. 24.

On aurait par exemple, pour des ensemblesEetF,

E=F()EFetFE(2.1)

(comparer avec l'enonce analogue a la ligne (1.6), p. 8).

2.1 Operations ensemblistes

2.1.1 Cinq operations elementaires sur les ensembles

Soit des ensemblesA,B, ..., parties de l'universU. Nous nous interessons tout d'abord a des operationsbinairessur les ensembles, permettant de produire un nouvel ensemble a partir de deux autres qui nous sont donnes. Denition 2.1Lareunionde deux ensemblesAetBest l'ensemble forme des elements appartenant aAou aB(ou aux deux). La reunion deAet deBse noteA[Bet se litA unionBouAreunionB.On aura observe le lien immediat entre[, l'operation de reunion d'ensembles, et_, l'operation logique de disjonction de propositions :

A[B=fx2Ujx2A_x2Bg:(2.2)

70CHAPITRE 2. ENSEMBLES : OPERATIONS ET RELATIONSABA[BLa region ombree representeA[B.

Denition 2.2L'intersectionde deux ensemblesAetBest l'ensemble forme des elements appartenant aAet aB. L'intersection deAet deBse noteA\Bet se litAintersection B ouAinterB.On a donc :

A\B=fx2Ujx2A^x2Bg;(2.3)

faisant ainsi ressortir le lien entre l'intersection\et le connecteur logique^.ABA\BLa region ombree representeA\B.

Exemple 2.1Soit les trois ensembles nisA=f1;2;3;4g,B=f0;1;3;5;7getC= f2;4;6;8g. Alors il est simple de decrire sous la forme d'une liste chacun des ensembles suivants : 1.A[B 2.A\B 3.B\C

2.1. OP

ERATIONS ENSEMBLISTES71

4. ( A[B)\CDenition 2.3Ladierencede deux ensemblesAetBest l'ensemble forme des elements deAn'appartenant pas aB. La dierence deAet deB(dans cet ordre) se noteAnB, ce qui se lit AmoinsB.L'operation de dierence ensemblistenest directement en lien avec l'operation logique de negation: on prend lesxtels quex2Aet(x2B).

On a donc

AnB=fx2Ujx2A^x =2Bg:(2.4)ABAnBLa region ombree representeAnB. Un cas particulier interessant est celui ou on considere une dierenceAnB, mais avec BA. Exemple 2.2RnQdesigne donc l'ensemble des nombres reels qui ne sont pas rationnels,

c'est-a-dire l'ensemble desirrationnels.Remarque 2.1Que dire deAnBlorsqueAB?Denition 2.4Ladierence symetriquede deux ensemblesAetBest l'ensemble, note

A4B, forme des elements appartenant soit aA, soit aB, mais pas a leur intersection.On observera le lien ^etre l'operation ensembliste4et le connecteur logiqueY(disjonction

exclusive) :

A4B=fx2Ujx2AYx2Bg(2.5)

c'est-a-dire :xappartient aA, ou aB, mais pas aux deux en m^eme temps.

72CHAPITRE 2. ENSEMBLES : OPERATIONS ET RELATIONSABA4BLa region ombree representeA4B.

Exemple 2.3Voici deux egalitesevidentes, comme le suggere le diagramme d'Euler-

Venn qui precede :

(a)A4B= (A[B)n(A\B), (b)A4B= (AnB)[(BnA). Mais il faut aussi savoir les justier a partir des denitions elles-m^emes. On procedera bien s^ur par double inclusion. Voici par exemple comment etablir l'egalite (a). ()Nous nous basons p ourcette partie sur les egalites(2.2), (2.3), (2.4) et (2.5). Soit doncx2A4B; comme l'operation4repose sur la disjonction exclusiveY, il y a alors deux cas (mutuellement exclusifs) a considerer. x2A(etx =2B) : Commex2A, on a clairementx2A[B. Et dex =2B, il suit quex =2A\B.

Ainsix2A[Betx =2A\B, c'est-a-direx2(A[B)n(A\B).

x2B(etx =2A) :

Le raisonnement est identique.

Dans les deux cas, on a bien quex2(A[B)n(A\B).

()Nous raisonnons cette fois apartir de la form ulationdes d enitions2.1, 2.2, 2.3 et 2.4. Soitx2(A[B)n(A\B). On a donc quex2A[Betx =2A\B. Mais alorsx appartient aAou aB, mais pas aux deux ensemblesAetBen m^eme temps. Il est

donc dansA4B.Les quatre operations qui precedent sont binaires, car elles agissent sur deux ensembles.

Nous nous interessons maintenant a une operationunaire, ayant un seul argument.

2.1. OP

ERATIONS ENSEMBLISTES73

Denition 2.5Lecomplementaired'un ensembleA(par rapport a l'universU) est l'en- semble des elements deUn'appartenant pas aA. Cet ensemble est represente de dierentes manieres :Ac, ou encoreA0, ou encoreA. Si on souhaite mentionnerUexplicitement, on ecrira egalement{U(A) | ce qui peut se lire textuellement le complementaire deAdans l'universU.1On a donc A c=fx2Ujx =2Ag:(2.6) Tout comme la dierencen, le complementaire ()cest donc en lien avec, la negation logique. Cela complete l'introduction des cinq operations de base sur les ensembles, operations qui sont pratiquement omnipresentes en mathematiques. L'usage a consacre une certaine terminologie se rapportant a des situations pouvant se decrire aisement a l'aide de ces operations. En voici un exemple important. Denition 2.6Soit deux ensembleAetB(parties d'un certain universU). On dira que AetBsontdisjointslorsqueA\B=;.Deux ensembles disjoints ne se touchentdonc pas : ils n'ont aucun element en com- mun. Ainsi en est-il, dans les entiers, de l'ensemblePdes nombres pairs et de l'ensembleI des nombres impairs :P\I=;. Par contre, les deux ensembles comprenant d'une part les impairs et d'autre part les carres ne sont pas disjoints : il y a des impairs carres.quotesdbs_dbs29.pdfusesText_35