19 fév 2014 · Résolution des équation différentielles méthode d'Euler en Python Runge Kutta d'ordre 4 (RK4) Méthode de Runge-Kutta d'ordre 4 en
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[PDF] Résolution numérique déquations différentielles
6 mar 2018 · C'est une équation différentielle d'ordre 1, mais elle n'est pas linéaire Cela semble indiquer que la méthode d'Euler est une méthode d'ordre 1 On Il faut utiliser la fonction odeint de Python de la librairie scipy integrate 4
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22 mai 2014 · des équations différentielles), en ne cherchant surtout pas à comprendre les mathématiques Programme Python pour la méthode d'Euler :
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La fonction odeint nous permet d'obtenir une résolution numérique de référence pour l'équation différentielle qui nous intéresse : def f(x, t): return np sin(t)
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26 mar 2019 · numérique d'équations différentielles: méthode d'Euler pas de solutions analytiques : par exemple, l'équation θ// = −k1 sinθ − k2θ/ Python" (NumPy) élaborée pour un calcul numérique optimisé S B Présentation en
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pour l'autre une équation différentielle du deuxième ordre, le pendule simple Figure 5 – Mise en oeuvre de la méthode d'Euler explicite avec Python :
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19 fév 2014 · Résolution des équation différentielles méthode d'Euler en Python Runge Kutta d'ordre 4 (RK4) Méthode de Runge-Kutta d'ordre 4 en
[PDF] Analyse numérique en Python, Résolution numérique déquations
résoudre analytiquement l'équation différentielle, dont la solution est Uc(t) = E0 +(U0 L'implémentation de la méthode d'Euler explicite est des plus simple
[PDF] Chapitre N 5 : La méthode dEuler pour les systèmes différentiels
La méthode d'Euler vue dans un chapitre ultérieur n'est valide que pour les équations On commence par remarquer qu'une équation différentielle d'ordre n peut toujours Définissez la fonction f sous python grâce à la syntaxe suivante
[PDF] Chapitre N 3 : Les méthodes dEuler et ses cousines
But : Approcher la solution d'une équation différentielle de la forme y = f(t, y) alors on obtient la méthode d'Euler explicite : les approximations sont Indication : Pour demander à Python une (approximation d'une) solution de l' équation
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ii) L'ordre d'une équation différentielle est celui de la dérivée la plus élevée apparaissant dans l'équation Programmation de la méthode d'Euler avec Python
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A. Hassan@ChampollionPCSI-MPSI - 1
Informatique en PCSI et MPSI
Champollion 2013-2014
Méthodes d"Analyse Numérique
Implémentation et Application en Python
Équations différentielles ordinaires
A. HASSAN
19 février 2014
Résolution des équation différentielles
ordinaires (EDO)Résolution des équation
différentielles ordinaires(EDO)Le ProblèmeLe Problème (suite)Problème de CauchyMéthodes de résolution:Ordres 1 et 2Méthode d"Euler ou RK1(Runge-Kutta d"ordre 1)Implémentation del"algorithme d"EulerImplémentation de laméthode d"Euler enPythonRunge Kutta d"ordre 4(RK4)Méthode de Runge-Kuttad"ordre 4 en PythonMéthode de Runge-Kuttad"ordre 4 en PythonUtilisation de lacommande
odeintdu module scipy.integrateCommandeodeint(suite)
Exercice: L"équation de
Van Der Pol (1924)
Implémentation en Python
Exploitation graphique
Exploitation graphique:
Champs de vecteurs
Solution
A. Hassan@ChampollionPCSI-MPSI - 2
Le Problème
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SoitIun intervalle deR,Dun ouvert deRnetfune fonctionconnuede R n×I-→Rn. On cherchey:I→Rntelle que y ?(t) =f(y(t);t)oùf(y(t);t) =???f1(y1(t),···,yn(t);t)
f n(y1(t),···,yn(t);t)??? ety(t) =???y 1(t) y n(t)??? Ce type d"équations s"appelleÉquation résolue eny?. Par contre sin(t.y?+cos(y?+y)) =t.y+y?n"est pas résolue eny?. I.e. Impossible d"écrirey?=f(t,y)(avoiry?explicitement en fonction detety) Ordinaire: la dérivation est effectuée par rapport àtuniquement. Équation aux dérivées partielles(EDP) :∂T ∂t=∂2T ∂x2+∂2T ∂y2, fonction inconnue T(t,x,y)(Équation de la chaleur ou de la diffusion)Le Problème (suite)
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Problème de Cauchy(ou de la condition initiale) :Trouvert?→y(t) =???y
1(t) y n(t)??? deI-→Rntelle que y(t0) =y0 y?(t) =f(y(t);t)Problème des conditions aux limites:
Cas où l"on dispose d"informations suryà des valeurs différentes det.Conditions initiales Conditions aux limites
?y ?1(t) =-y1(t) +y2(t) +sin(t) y ?2(t) =2y1(t)-3y2(t) (y1(0);y2(0)) = (0,3)???????y ?1(t) =-y1(t) +y2(t) +sin(t) y ?2(t) =2y1(t)-3y2(t) y1(0) =2
y2(π
4) =-1
Problème de Cauchy
Résolution des équation
différentielles ordinaires (EDO)Le Problème
Le Problème (suite)Problème de CauchyMéthodes de résolution:Ordres 1 et 2Méthode d"Euler ou RK1(Runge-Kutta d"ordre 1)Implémentation del"algorithme d"EulerImplémentation de laméthode d"Euler enPythonRunge Kutta d"ordre 4(RK4)Méthode de Runge-Kuttad"ordre 4 en PythonMéthode de Runge-Kuttad"ordre 4 en PythonUtilisation de lacommande
odeintdu module scipy.integrateCommandeodeint(suite)
Exercice: L"équation de
Van Der Pol (1924)
Implémentation en Python
Exploitation graphique
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Sauf quelques cas particuliers, il est presque impossible de trouver des solutions analytiques(i.e. se ramener à un calcul de primitives). On cherche des solutions approchées, donc Résolutions numériques. Principe: Si l"on connaîtyà l"instant (abscisse)t, comment obteniryà l"instantt+h,y(t+h), puis recommencer avec y(t+h)? Choisirhassez petit et utiliser les Développements limités y(t+h) =y(t) +hy?(t) +12h2y??(t) +···+o(hn)y?(t)=f(t,y(t)===========?
=y(t) +Φ(t,h,f(y,t)) +o(hn) On chercheΦ(t,h,f(y,t))de telle sorte l"ordre deo(hn)soit le plus élevé possible (en minimisant le coût et la complexité des calculs).Méthodes de résolution : Ordres 1 et 2
Résolution des équation
différentielles ordinaires (EDO)Le Problème
Le Problème (suite)
Problème de CauchyMéthodes de résolution:Ordres 1 et 2Méthode d"Euler ou RK1(Runge-Kutta d"ordre 1)Implémentation del"algorithme d"EulerImplémentation de laméthode d"Euler enPythonRunge Kutta d"ordre 4(RK4)Méthode de Runge-Kuttad"ordre 4 en PythonMéthode de Runge-Kuttad"ordre 4 en PythonUtilisation de lacommande
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Exercice: L"équation de
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Leplus souventh= (tf-t0)/Noù[t0;tf]désigne l"intervalle de résolution etNle nombre de sous-intervalles. Sinon: On considèreT={t0;t1;···;tn-1;tn}et h i= (ti+1-ti) Ainsiy(t)est l"estimation courante entety(t+h)l"estimation au pas suivant Pourn=1?Méthode d"Euler (ou Runge Kutta d"ordre 1). y(t+h)≈y(t) +hf(t,y(t))Pourn=2?Méthode de Runge Kutta d"ordre 2.
K1=h.f(t,y(t))
K2=h.f(t+1
2h;12K1+y(t))
y(t+h)≈y(t) +K2Méthode d"Euler ou RK1 (Runge-Kutta d"ordre 1)
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Principe de la méthode:
Chercher une solution approchée de?y?=f(t;y)
y0=y(t0)sur l"intervalleI= [t0;tf]
pas d"intégration :h= (tf-t0N)où
h= (ti+1-ti)?y(ti+h)≈y(ti) +hi.f(y(ti),ti) Géométriquement: Remplacer la courbe sur[ti;ti+h]par la tangente. SiMn(tn;yn)est le point courant de la courbe "solution", le nouveau point : M n+1(tn+h;yn+hf(tn,yn)). hn δy erreur commise y n t ntn+1Résolution des équationdifférentielles ordinaires(EDO)Le ProblèmeLe Problème (suite)Problème de CauchyMéthodes de résolution:Ordres 1 et 2Méthode d"Euler ou RK1(Runge-Kutta d"ordre 1)Implémentation del"algorithme d"EulerImplémentation de laméthode d"Euler enPythonRunge Kutta d"ordre 4(RK4)Méthode de Runge-Kuttad"ordre 4 en PythonMéthode de Runge-Kuttad"ordre 4 en PythonUtilisation de lacommande
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Exercice: L"équation de
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Algorithme d"Euler(Runge Kutta d"ordre un)Euler(f,y0,t0,tf,N)Entrées:ffonction données
(t0;y0)point initial t fabscisse finalNnombre de points de[t0;tf]
Sorties:Lyliste des ordonnéesyk,k=0;1;···;N h←(tf-t0)NLy←y0,Lt←t0
pourk de1à Nfaire y0←y0+h.f(t0,y0) t0←t0+h
L y←Ly,y0; # stocker les solutions L t←Lt,t0# stocker les abscisses retournerLyet LtImplémentation de l"algorithme d"Euler
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Méthodes de résolution:
Ordres 1 et 2
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