au voisinage du point x = 0 Exercice 7 Soit g la fonction x → arctan x (sin x)3 − 1 x2 1 poss`ede une limite finie ou infinie lorsque x tend vers +∞ Exercice
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On dit f admet un développement limité à l'ordre n au voisinage de l'infini (noté DLn(+∞) ou Application : Calculons le DL(0) de arctan : arctan x = 1 1 + x2
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fonctions ayant une limite infinie en un point de l'intervalle d'intégration Si on se arctan(t) ]+∞ 0 désigne une limite en +∞ Par contre, l'intégrale ∫ +∞ 0 1
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FiGURe 5 – Fonction ln et ses polynômes de Taylor en 0 jusqu'à l'ordre n = 5 La primitive nulle en 0 est arctan(x) : arctan(x) = x − x3 3
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Si I = ]a, +∞[ et si f et h ont la même limite l (finie ou infinie) quand x tend vers +∞ , alors x > 0 ⇒ arctan (x)+arctan (1/x) = π/2 x < 0 ⇒ arctan (x)+arctan (1/x) =
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au voisinage du point x = 0 Exercice 7 Soit g la fonction x → arctan x (sin x)3 − 1 x2 1 poss`ede une limite finie ou infinie lorsque x tend vers +∞ Exercice
[PDF] A — Développements limités et équivalents - Lycée Jean Bart
4 fév 2014 · La fonction f admet un développement limité à l'ordre n en a s'il existe : ¢ (n + 1) DL de ln(1+x) à partir de celui de 1/(1+x) ; DL de arctan(x) une fois connu celui de 1/(1+x2) ; 2) Déterminer les asymptotes à Cf en l'infini
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Comparaison des suites en l'infini Plan du chapitre n∈N convergente, de limite nulle, telle que ∀n ∈ N, un ou encore Arctan (un) = n→+∞ un + o (un)
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Universite Paris Dauphine
Feuille d'exercices du cours d'Analyse 2
DUMI2E | Premiere annee
La plupart des exercices de ce fascicule sont issus de recueil d'exercices disponibles sur internet, souvent avec les corrections. Le siteexo7.emathcouvre le programme du cours (et tres largement au-dela), propose des exercices avec corrections, des cours (polycopie et MOOCS), etc... Il est heberge par la SMAI et la SMF. Adresse du site : http://exo7.emath.fr/ Quelques exercices etant un peu plus delicats, des indications, ecrites en sens inverse, sont suggerees. Il est conseille au lecteur d'essayer dans un premier temps de resoudre ces exercices sans tenir compte des indications. 1Universite Paris Dauphine
DUMI2E 1e annee
Analyse 2 | 2015-2016
Feuille 1 de TD
Fonctions trigonometriques et hyperboliques
Exercice 11. Calculer
(i) arcsin(sin(1));(ii) arcsin(sin(195 ));(iii) arctan(tan(1652. Determiner le domaine de denition des fonctions suivantes et les calculer :
(iv)x!arctan(tan(x)):3. En s'inspirant de la question ci-dessus, calculer cos(arctan(x)) et sin(arctan(x)) pourx
reel donne.Exercice 2
1. Calculer arccos(x) + arcsin(x) pour toutx2[1;1].
2. En deduire la solution de l'equation arccos(x) + arcsin(x2x+ 1) ==2.
Exercice 3On posex= arctan(p2).
1. Montrer que 0< 2x < =2 et calculer tan(2x).
2. En deduire que arctan(2
p2) + 2arctan( p2) =.Exercice 4Soitf(x) = argsh
2xp1 +x2
1. Determiner le domaine de denition defet montrer quefest de classeC1sur son domaine
de denition.2. Calculerf0(x) et en deduire une expression simple def.
Exercice 51. Montrer que, pour toutx2R, 2arctan(p1 +x2x) + arctan(x) ==2:2. Montrer que la fonctionh(x) = arctan(p1 +x2x) est une bijection deRdans ]0;+1[.
3. Soitx2Rtel queh(x) ==8. En utilisant la premiere question, calculerxet en deduire
la valeur de tan(=8).4. Calculer de m^eme tan(=12).
Exercice 6Montrer que l'equation suivante possede une unique solution dans ]0;1=2[ et la calculer : arctan(2x) + arctan(x) =4 2Universite Paris Dauphine
DUMI2E 1e annee
Analyse 2 | 2015-2016
Feuille 2 de TD
Developpements limites
Exercice 1Donner le developpement limite enx0a l'ordrendes fonctions:1.f1(x) = (ln(1 +x))2(n= 4 ,x0= 0)
2.f2(x) = ln(sin(x)) (n= 3 ,x0=4
3.f3(x) =esin(x)(n= 3 ,x0= 0)
4.f4(x) = cos(x):ln(1 +x) (n= 3 ,x0= 0)
5.f5(x) = (1 +x)11+x(n= 3 ,x0= 0)
6.f6(x) = ln(tan(x2
+2 )) (n= 2 ,x0=27.f5(x) =p1 +
p1 +x(n= 2 ,x0= 0)Exercice 2 (Taylor-Young)
1. Soit:g(x) =exexe
x+ex Ecrire la formule de Taylor-Young a l'ordre 3 pourx0= 0. En deduire la position de la tangente au point d'abscissex= 0 par rapport au graphe de g, au voisinage de 0.2. Soit:h(x) = ln2(1 +x).
Ecrire la formule de Taylor-Young a l'ordre 3 pourx0= 0.3. On considere la fonctionfdenie sur ]1;0[[]0;+1[ par:f(x) =h(x)x2xg(x).
Deduire des questions precedentes quefadmet une limite lorsquextend vers 0.Exercice 3Calculer les limites suivantes:
1. lim
x!0e x2cos(x)x 2.2. lim
x!0ln(1 +x)sin(x)x3. lim
x!0cosxp1x2x 4.4. lim
x!0ln(cos(ax))ln(cos(bx))aveca6= 0 etb6= 0. 35. lim
x!ax aaxx xaa, aveca >0. Exercice 4[Rattrapage 2008] Calculer, si elles existent, les limites lim x!0f(x);limx!+1f(x) et limx!1f(x); ou la fonctionfest denie surRn f0gpar f(x) :=x3+ sin(2x)2sinxarctan(x3)(arctanx)3: Exercice 5Determiner les valeurs du parametre reelatelles que lim x!0e ax+ex2x 2 existe et est nie.Exercice 6Calculer le DL d'ordre 5 de la fonction
log(1 + sinx) au voisinage du pointx= 0.Exercice 7Soitgla fonctionx!arctanx(sinx)31x
2.1. Donner le domaine de denition deg.
2. Montrer qu'elle se prolonge par continuite en 0 en une fonction derivable.
3. Determiner la tangente en 0 au graphe de cette fonction et la position de ce graphe par
rapport a celle-ci.Exercice 8Pour tout entiern2N, on poseun=nX
k=1(1)k+11k En appliquant la formule de Taylor-Lagrange a la fonctionx!ln(1 +x), estimer la dierence junln(2)jet en deduire que (un)nest une suite qui converge vers ln2. Exercice 9Soitf(x) = 6x6+5x5+4x4+3x3+2x2+x. Ecrire le developpement limite defa l'ordre 3 au pointx0= 1 et determiner le ou les pointsqui realisent l'egalite dans la formule de Taylor-Lagrange quand on developpef(x) autour dex0= 1 et on prend apresx= 0 Exercice 10Soitf(x) = sin(x2)(sinx)2. Determiner si le pointx0= 0 est un point de minimum ou de maximum local def. Preciser egalement s'il s'agit d'un minimum ou maximum global. M^emes questions pour les fonctionsg(x) = arctan(x3)(arctanx)3eth(x) = (arctanx)2x2. Exercice 11 (Calcul d'asymptotes)Determiner si les fonctions suivantes admettent une asymptote en +1, en1. Si oui, la calculer et determiner la position de la courbe par rapport a l'asymptote. (i)f1(x) =x2lnx+ 1x (ii)f2(x) =x+ 11 +e1=x (iii)f3(x) =px2+ 1px
214 Exercice 12 (Etude locale d'une courbe)Soitfla fonction denie surRpar f(x) =11 +ex:
1. Donner un developpement limite defa l'ordre 3 en zero.
2. En deduire que la courbe representative defadmet une tangente au point d'abscisse 0,
dont on precisera l'equation.3. Prouver que la courbe traverse la tangente en 0. Un tel point est appele point d'in
exion. Exercice 13 (Position relative d'une courbe et de sa tangente)Soitfla fonction denie surRparf(x) = ln(x2+2x+2). Donner l'equation de la tangente a la courbe representative de fau point d'abscisse 0 et etudier la position relative de la courbe et de la tangente au voisinage de ce point.Exercice 14 (Application des formules de Taylor)
1. Soitf:R!Rde classeC2telle quejf(x)j C0etjf00(x)j C2pour toutx2R(ouC0
etC2sont des constantes xees). (i) Soitx2R. En utilisant la formule de Taylor avec reste integral a l'ordre 1 entrex etx+ 2a(oua >0), montrer quejf0(x)j C0=a+aC2. (ii) En deduire quejf0(x)j 2pC1C2pour toutx2R.
2. Soitf:R!Rde classeC2. Calculer
lim h!0f(x+h) +f(xh)2f(x)h 23.f:R!Rde classeC1telle quef(n)(0) = 0 pour toutn2N. On suppose qu'il existe une
constanteC >0 telle quejf(n)(x)j n!Cnpour toutx2R. Montrer alors quef(x) = 0 pour toutx2R(on pourra d'abord montrer quef(x) = 0 six2]1=C;1=C[). Exercice 15 (Recherche d'equivalent)Calculer desequivalents simples des suites suivantes : (i)8n2N;un= (nln(1 +1n ))n;(ii)8n2N;vn=pln(n+ 1)pln(n) (iii)8n2N;wn=n11+n21: 5Universite Paris Dauphine
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Analyse 2 | 2015-2016
Feuille 3 de TD
Convexite
Exercice 1Determiner si les fonctions suivantes sont convexes ou concaves sur l'intervalle considere :1.f1(x) =jxj3=2surR
2.f2(x) =jxj1=2surR
3.f3(x) =jxj1=2sur [0;+1[
4.f4(x) =exsurR
5.f5(x) =exsurR
6.f6(x) = log4xsur [0;+1[
7.f7(x) = sinxsur [0;3]
8.f8(x) = arctan(x) surR
Exercice 2La fonctionx7!xln(lnx) denie sur ]1;+1[ est-elle convexe sur ]1;+1[? Si ce n'est pas le cas, donner le plus grand intervalle sur lequel elle est convexe. Exercice 3Montrer que la fonctionfdeRdansRdenie par: f(x) = ex1x six6= 01 six= 0
est croissante et continue surR. Exercice 4Soientx1;:::;xndes reels strictement positifs. Le but de l'exercice est de montrer l'inegalite arithmetico-geometrique: (x1x2:::xn)1=nx1+:::+xnn1. Soitf:]0;+1[!Rconcave. Montrer que
f(x1+:::+xnn )f(x1) +:::+f(xn)n2. En deduire l'inegalite arithmetico-geometrique.
Exercice 5Soitf:R!Rconvexe telle quef(0) = 0 etf(1) = 1.Montrer que:8x2[0;1],f(x)xet8x62[0;1],f(x)x.
6Exercice 6Soitf:]0;+1[!Rconvexe.
Montrer que
f(x)x possede une limite nie ou innie lorsquextend vers +1.Exercice 7Soitf:I!R.
Montrer que sifest convexe et concave surIalorsfest ane surI.Exercice 8Soitf:R!Rconvexe.
Montrer que sifest majoree alors elle est constante.On pourra raisonner par contraposee.
7Universite Paris Dauphine
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Analyse 2 | 2015-2016
Feuille 4 de TD
Integration
Exercice 1 (Calcul direct)Determiner les primitives des fonctions sivantes : (a)x(x3+ 1); (b)1x3; (c) sin(2x6 ); (d)1cos 2(x+2 (e) sin2(x); (f) cos4(x); (g)1(2x+ 5)3; (h) tan2(x)Exercice 2Sur l'intervalleI=]2
;2 [ on considereFla primitive decos(x)cos(x)+sin(x)telle que F(0) = 0 etGla primitive desin(x)cos(x)+sin(x)telle queG(0) = 0. CalculerF+GetFGet en deduireFetG.Exercice 3 (Relation de Chasles)
1. Soientm;n2Zavecmn. CalculerZ
n mE(x)dxouE(x) designe la partie entiere dex.
2. Calculer
Z 21(x+ 1)jxjdx.
Exercice 4 (Integration par parties)Calculer les primitives des fonctions suivantes a l'aide d'une ou plusieurs integrations par parties. (a) (x+1)ex; (b) ln(x); (c) (x2+x+1)e2x; (d)exsinx; (e)xarctanx; (f) ln2(x); (g)e2xcos2x; (h)pxln(x); (i) sin(ln(x))Exercice 5Calculer les integrales suivantes :
(a)Z 1 0 t2etdt; (b)Z =2 0 (cost)ln(1 + cost)dt(c)Z 21ln(1 +t)t
2dt Exercice 6Calculer les integrales suivantes a l'aide d'une integration par parties : I=Z e 1 cos(logx)dx,J=Z e 1 sin(logx)dx. Exercice 7Determiner une primitive dexexpuis calculer les integrales suivantes : I=Z 0 xexsin2xdx,I=Z 0 xexcos2xdx. 8 Exercice 8 (Changement de variables)Calculer les primitives des fonctions suivantes en utilisant, si necessaire, un changement de variable : (a)dxx p1 +x(b)2px pxdx(c)sin(x)1cos(x)dx(d)1sin(x)dx:Indication pour le (d) :multiplier numerateur et denominateur de la fraction par sin(x)Exercice 9Soitf:R!Rune fonction continue periodique de periodeT. Montrer que
Z a+T a f(x)dx=Z T 0 f(x)dx8a2R:Exercice 10SoitZ
0xsinxdx3 + sin
2x. Utiliser le changement de variablet=x, puis determiner
la valeur deI. Exercice 11 (Examen 2008)Calculer l'integrale suivante Z ln4 0pe x1dx et dire si sa valeur est superieure, inferieure, ou egale a 3=2.Indication:Poseru=pe x1.Exercice 12Calculer une primitive de la fonctionf(x) = (1 +x2)3=2:Indication:poserx= sinh(u).Exercice 13 (Fractions rationelles)Decomposer chacune des fractions suivantes enelements
simples et en calculer une primitive : (a)2x+ 3x24(b)3x+ 7x
23x+ 2(c)x2+ 1x
21(d)x21x