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Des exercices qui, comme le nom l'indique, te questionneront, et te Nous avons voulu utiliser une technique un peu différente pour t'aider à faire des est diviseur de », « est multiple de », « est divisible par » Commerce ou personne -3

[PDF] Exercice [Créteil, Paris, Versailles, 2004] Solution [Créteil, Paris

car comme la liste des diviseurs de 255 est 1, 3, 5, 15, 17, 51, 85, 255, je déduis Lorsque j'écris la table des multiples de 36, cela me donne déjà un renseignement A Sans utiliser la technique opératoire de la multiplication, c' est-à-dire sans poser Si [37a28b](10) est divisible par 90, il l'est donc aussi par 9 et par 10 

[PDF] Cours darithmétique

`a utiliser la caractérisation de la divisibilité par les valuations p-adiques (voir paragraphe 1 3) petit commun multiple (ppcm) de a et de b et on le note ppcm (a, b) Propriétés plus généralement, le pgcd de a et de a + n est un diviseur positif de n Exercice 65** Soient a

[PDF] Cahier dexercices en 6 - EUorg

Dans ce recueil, on trouvera 1 042 exercices pour la classe de 6e Elle coupe le segment [AD] en J – Trace en 2/ Donne alors une règle pour multiplier Attention, une co- lonne est impossible Dividende 437 3 142 49 Diviseur 7 2/ Écris le critère de divisibilité par 3, puis quels la technique de division permet de

[PDF] Reconnaître un multiple ou un diviseur - DocDroid

sances sur les critères de divisibilité Les critères divisibilité Les exercices 87 et 78 demandent à l'élève de connaître Chapitre 1 – Reconnaître un multiple ou un diviseur 43 Par contre n'étudier la propriété (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd qu'après appliquer la technique initiale ou prendre pour dénomi- nateur le  

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2 1 6 Plus grand commun diviseur de deux entiers naturels 14 2 1 7 Plus petit commun multiple de deux entiers naturels et ces exercices, mais on peut aussi trouver sur ce site les corrigés des exercices, des analyses Un entier naturel n est divisible par 4 si le nombre constitué du chiffre des 

[PDF] des exercices - Collège Sacré Coeur

a est un multiple de b ou a est divisible par b ou b est un diviseur de a ou b divise a Remarque : L'entier Exemple 5 : Une unité industrielle d'énergie est le mégawattjour (MWj) soit l'énergie 14 La vitesse commerciale des TGV est en

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Écrire l'ensemble des entiers relatifs diviseurs de 6 2 Déterminer les entiers Démontrez que si a2 + b2 est divisible par 7 alors a et b sont divisibles par 7 En déduire que 7 divise Nk si et seulement si k est multiple de 6 3 44 D la somme des chiffres de C a Démontrer la relation suivante : (9) A D ≡ b Sachant 

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Exercices du § VIII 1 61 ou que d est un diviseur de n, ou que n est un multiple de d, et on écrit d n, s'il existe lecteur le soin de formuler les conditions ad hoc pour la divisibilité de x par 4,8,16, ailleurs, bien peu de mathématiciens professionnels sont capables de lire, vu sa tr`es grande difficulté technique, ainsi que

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L'avant dernier terme est divisible par n par HdR et le dernier terme, sans le facteur n ceux qui admettent un diviseur impair > 1 (c -`a-d tout sauf les puissances de 2) Il Calculer, `a l'aide de la technique de votre choix, les ppcm et pgcd de : plus petits nombres premiers de N et tous les multiples de ces derniers ont 

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Cours d"arithm´etique

Premi`ere partie

PierreBornsztein

XavierCaruso

PierreNolin

MehdiTibouchi

D´ecembre 2004

Ce document est la premi`ere partie d"un cours d"arithm´etique ´ecrit pour les ´el`eves pr´e-

parant les olympiades internationales de math´ematiques. Le plan complet de ce cours est :

1. Premiers concepts

2. Division euclidienne et cons´equences

3. Congruences

4.´Equations diophantiennes

5. Structure deZ/nZ

6. Sommes de carr´es

7. Polynˆomes `a coefficients entiers

8. Fractions continues

Cette premi`ere partie traite les quatre premiers chapitres. Les quatre derniers chapitres forment quant `a eux la deuxi`eme partie de ce cours. Contrairement `a la seconde partie, cette premi`ere partie se veut le plus ´el´ementaire

possible. Les notions abstraites, souvent plus difficiles `a assimiler, mais qui clarifient les id´ees

lorsqu"elles sont comprises, ne sont ´evoqu´ees que dans la seconde partie. Nous conseillons au lecteur de bien maˆıtriser ce premier tome avant de passer `a la lecture du second.

Les notions et les th´eor`emes introduits ici sont g´en´eralement tout `a fait suffisants pour

traiter les exercices propos´ees aux olympiades internationales de math´ematiques.

Vous trouverez `a la fin de chaque chapitre une s´erie d"exercices de difficult´e variable mais

indiqu´ee par des ´etoiles

1. Toutes les solutions sont rassembl´ees `a la fin du document.

Nous vous souhaitons bon apprentissage et bonne lecture. 1 Plus nous avons jug´e l"exercice difficile, plus le nombre d"´etoiles est important. 1

Liste des abbr´evations :

AMM American Mathematical Monthly

APMO The Asian Pacific Mathematics Olympiad

CG Concours g´en´eral

OIM Olympiades Internationales de Math´ematiques

SL Short List

TDV Tournoi Des Villes

Liste des notations :

?ensemble vide

Nensemble des entiers naturels (positifs ou nuls)

N ?ensemble des entiers naturels strictement positifs

Zensemble des entiers relatifs

Qensemble des nombres rationnels

Rensemble des nombres r´eelsPsymbˆole de sommation2Qsymbˆole de produit3 a|b adiviseb [x]partie enti`ere dex {x}partie d´ecimale dex pgcdplus grand commun diviseur a?bpgcd(a,b) ppcmplus petit commun multiple a?bppcm(a,b) a≡b(modN)aest congru `abmoduloN pun nombre premier v p(n)valuationp-adique den d(n)nombre de diviseurs positifs den

σ(n)somme des diviseurs positifs den

?fonction indicatrice d"Euler s b(n)somme des chiffres denen baseb π(n)nombre de nombres premiers inf´erieurs ou ´egaux `an a n...a0b´ecriture en baseb n!factorielle den:n! = 1×2× ··· ×n C k ncoefficient binomial : Ck n=n! k!(n-k)! u n≂vnles suites(un)et(vn)sont ´equivalentes 2 Une somme index´ee par l"ensemble vide est ´egale `a0.

3Un produit index´e par l"ensemble vide est ´egale `a1.

2

Table des mati`eres

1 Premiers concepts 4

1.1 Divisibilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Nombres premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3 Valuationp-adique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4 Quelques fonctions arithm´etiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.5 Nombres rationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2 Division euclidienne et cons´equences 24

2.1 Division euclidienne et d´ecomposition en baseb. . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.2 Algorithme d"Euclide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.3 Algorithme d"Euclide ´etendu et th´eor`eme de B´ezout . . . . . . . . . . . . . . 28

2.4 Lemme de Gauss et cons´equences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3 Congruences 37

3.1 D´efinition, premi`eres propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.2 Crit`eres de divisibilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.3 Ordre d"un ´el´ement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.4 Th´eor`eme chinois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.5 Congruences modulop. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.6 Congruences modulopn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.7 Coefficients binomiaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4

´Equations diophantiennes 56

4.1 Quelques r´eflexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.2 Utilisation des congruences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.3 Descente infinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.4´Equations de degr´e2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.5´Equations de degr´e3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5 Corrig´e des exercices 75

5.1 Exercices de"Premiers concepts». . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

5.2 Exercices de"Division euclidienne et cons´equences». . . . . . . . . . . . . 103

5.3 Exercices de"Congruences». . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

5.4 Exercices de"´Equations diophantiennes». . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

3

1 Premiers concepts

Cette section, comme son nom l"indique, pr´esente le concept de base de l"arithm´etique,

`a savoir la divisibilit´e. On introduit ensuite les nombres premiers ce qui permet d"´enoncer le

th´eor`eme fondamental de l"arithm´etique (c"est-`a-dire la d´ecomposition en facteurs premiers)

dans lequel les nombres premiers jouent le rˆole de briques ´el´ementaires pour la fabrication

des nombres.

1.1 Divisibilit´e

D´efinition 1.1.1Siaetbsont deux entiers, on dit queadiviseb, ou quebestdivisible para, s"il existe un entierqtel queb=aq. On dit encore queaest undiviseurdeb, ou que best unmultipledea. On le notea|b.

Propri´et´es

+Siaetbsont deux entiers avecb?= 0,bdiviseasi et seulement si la fractiona b est un entier. +Tous les entiers divisent0, et sont divisibles par1. +Un entiernest toujours divisible par1,-1,net-n. +Sia|b, etb|c, alorsa|c. +Sia|b1,b2,...,bn, alorsa|b1c1+b2c2+...+bncn, quels que soient les entiersc1,c2,...,cn. +Siadivisebetb?= 0, alors|a|6|b|. +Siadivisebetbdivisea, alorsa=±b. +Siaetbsont deux entiers tels quean|bnpour un entiern>1, alorsa|b.

Toutes les propri´et´es list´ees pr´ec´edemment sont imm´ediates, `a l"exception de la derni`ere dont

la d´emonstration n"est pas triviale sans bagage arithm´etique. Une preuve possible consiste

`a utiliser la caract´erisation de la divisibilit´e par les valuationsp-adiques (voir paragraphe

1.3). Voyons imm´ediatement deux exercices qui montrent comment on peut manipuler la no- tion de divisibilit´e :

Exercice

: Soientxetydes entiers. Montrer que2x+ 3yest divisible par7si et seulement si5x+ 4yl"est.

Solution

: Supposons que7divise2x+3y, alors il divise6(2x+ 3y)-7(x+ 2y) = 5x+4y. R´eciproquement si7divise5x+ 4y, il divise6(5x+ 4y)-7(4x+ 3y) = 2x+ 3y.⎷

Exercice

: Pour quels entiersnstrictement positifs, le nombren2+ 1divise-t-iln+ 1?

Solution

: Sin2+1divisen+1, comme tout est positif, on doit avoirn2+16n+1, ce qui n"est v´erifi´e que pourn= 1. On v´erifie ensuite quen= 1est bien solution.⎷ 4

Parties enti`eres

D´efinition 1.1.2Sixest un r´eel, on appellepartie enti`eredex, et on note[x], le plus grand entier inf´erieur ou ´egal `ax. Ainsi, on a[x]6x <[x] + 1. Remarque.On d´efinit aussi lapartie d´ecimaledex, comme la diff´erencex-[x]. La partie

d´ecimale dexest souvent not´ee{x}. Cette notion est moins utilis´ee que la notion de partie

enti`ere et les conventions de notations sont moins usuelles `a ce propos : lors d"un exercice,

ou d"un expos´e, il est toujours de bon goˆut de commencer par pr´eciser les notations qui vont

ˆetre employ´ees par la suite.

Notons qu"il fautˆetre prudent avec les nombres n´egatifs : autant pour les nombres positifs, la partie enti`ere correspond au nombre auquel on retire ses chiffres apr`es la virgule, autant

ce n"est pas le cas pour les nombres n´egatifs. En effet, si on suit la d´efinition, on voit par

exemple que[-3,5] =-4.

Les parties enti`eres et parties d´ecimales ob´eissent `a quelques propri´et´es ´el´ementaires que

nous listons ci-dessous :

Propri´et´es ´el´ementaires

+On a toujoursx= [x] +{x}. +Pour tout r´eelx, on ax-1<[x]6x +Sixest entier,[x] =xet{x}= 0. Et r´eciproquement si l"une des deux ´egalit´es est v´erifi´ee, alorsxest entier. +[-x] =-[x]-1sauf sixest entier, auquel cas[-x] =-[x]. +Sixetysont deux r´eels,[x] + [y]6[x+y]6[x] + [y] + 1. +Sim >0est un entier, alors il y a exactement[x m ]multiples demcompris entre1et x.

La d´emonstration des propri´et´es consiste en de simples manipulations de la d´efinition et

principalement de l"in´egalit´e[x]6x <[x] + 1. Elle est laiss´ee au lecteur. On remarquera que tr`es souvent les questions faisant intervenir des parties enti`eres se r´esument `a de laquotesdbs_dbs2.pdfusesText_3