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Correction Exercice 1 1) a) La fonction sinus hyperbolique : sh(x) = ex − e−
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Chapitre 13 : Fonctions hyperboliques Analyse B) Etude de la fonction sh ( sinus hyperbolique) - On voit C) Etude de la fonction ch (cosinus hyperbolique )
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28 jan 2009 · 2Étude des fonctions On définit la fonction cosh (=cosinus hyperbolique) par cosh(x) = ex + e−x 2 ∀x ∈ R, et la fonction sinh (=sinus
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1 1 Définition On appelle fonction sinus hyperbolique la fonction sh : R → R,x ↦ → shx = ex − e−x 2 On appelle fonction cosinus hyperbolique la fonction ch : R
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10 1 2 Définition des fonctions sinus hyperbolique et cosinus hyperbolique Les fonctions sinus, cosinus, tangente et cotangente sont appellées fonctions
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2 Fonctions hyperboliques et hyperboliques inverses Exercice 6 1 Indication 4 On compose les équations par la bonne fonction, par exemple sinus pour la Corrections L1 En prenant le cosinus de l'équation Arccosx = 2 Arccos 3 4
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9 oct 2007 · Exercice 4 Voici un exercice amusant, qui curieusement, utilise l'ap- plication tangente Soient a1,a2, , a7 sept nombres réels (2 à 2 distincts)
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sinus hyperbolique : sh(x) = e x − e −x 2 Cette fonction est impaire Le tableau des variations est : x –∞ +∞ sh(x) –∞ k +∞ * cosinus hyperbolique : ch(x)
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2 Les fonctions hyperboliques 1 Qu’est-ce que les fonctions hyperboliques ? Définition On définit les fonctions cosinus hyperbolique et sinus hyperbolique ainsi Définition de cosh x et de sinh x cosh sinh 2 2 e e e ex x x x x x + ?? ? = = On utilise aussi les notations suivantes ch cosh sh sinhx x x x= =
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Pour x 2R le cosinus hyperbolique et le sinus hyperbolique sont respectivement : ch x = ex +e x 2 et sh x = ex e x 2 La fonction ch est paire et la fonction sh impaire En exploitant les propriétés de la fonction exp on obtient immédiatement que les fonctions cosinus hyperbolique et sinus hyperbolique sont dé nies continues et
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Fonctions cosinus hyperbolique (ch), sinus hyperbolique (sh) et tangente hyperbolique (th)Ces fonctions font partie des nouvelles fonctions de référence, il est donc important de traiter cet exercice en
entier et de bien le comprendre. En fin d"exercice vous trouverez les courbes représentatives de ces courbes.
1. c het sh son tbien définies sur Ret on a :8x2R;ch(x) =ch(x)et sh(x) =sh(x). On en déduit que ch est paire et sh est impaire. Il suit qu"il suffit de les étudier surR+(on pourrait tout aussi bien choisirR).2.chetshsont dérivables surRen tant que combinaisons linéaires (et composées) de fonctions dérivables
surR. En appliquant les formules de dérivation on obtient :ch0=sh etsh0=ch. (La seule difficulté est de bien dériver e x). 3.On a sh
0=ch et il est clair que ch>0(voyez-vous bien pourquoi?)donc sh est strictement croissante surR.
La parité de sh nous permet de limiter son étude àR+et on a uniquement la limite en+1à déterminer.
(Voyez-vous pourquoi, sans calcul, on peut affirmer que sh(0) = 0?)On a : lim x!+1ex= +1etlimx!+1ex= limx!1ex= 0:On en déduit, par opérations sur les limites, quelimx!+1sh(x) = +1On dresse le tableau de variations
de sh surR+et on le complète àR.x sh1+111+1+10 0 4.On a c h
0=sh. Or, le tableau de variations de sh obtenu à la question précédente nous donne son signe.
On a ch(0) = 1etlimx!+1ch(x) = +1ce qui nous permet de construire le tableau de variations de ch surR+puis de le compléter àR(par parité) :x sh ch10+10+ +1+111+1+15.On a : 8x2R;ch2(x)sh2(x) = (ch(x)sh(x))(ch(x) + sh(x)) =exex=e0= 1. 6.D"après la question précéden te,c hne s"ann ulejamais. Il suit que th (x)existe pour tout réelx. De plus,
ch et sh étant dérivables, on déduit que la fonction th est définie et dérivable surR.
ch est paire et sh est impaire, on en déduit que la fonction th est impaire.(Voyez-vous bien pourquoi?)
On a :
th0=sh0chshch0ch
2=ch2sh2ch
2=1ch 2>0: On en déduit que la fonction th est strictement croissante surR. On calcule la limite en+1: lim x!+1th(x) = limx!+1e xexe x+ex= limx!+11e2x1 +e2x= 1:(Quelle opération a-t-on fait? Pourquoi a-t-on eu besoin de le faire? Voyez-vous bien pourquoi le résultat
est 1?).On peut contruire le tableau de variations de th (d"abord surR+puis complété par imparité) :
1 x th1+111110 0 2quotesdbs_dbs20.pdfusesText_26