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L'analogie
Stefan Neuwirth
Table des mati`eres
1 Introduction 2
2Lapratiquemath´ematique 2
2.1 Les analogies purement heuristiques ................ 2
2.1.1 Le caract`ereempiriquedesanalogies............ 2
2.1.2 L"analogie comme guide de la d´ecouverte . . . . . . . . . 3
2.2 Les analogies g´en´eralisatrices .................... 3
2.2.1 Le passage heuristique `auncadrediff´erent . . . . . . . . 4
2.2.2 D´efinitions par analogie dans un cadre plus g´en´eral.... 5
2.3 Les analogies fond´ees sur une ressemblance formelle . . . . . . . 6
2.3.1 Une ressemblance peut mener `a une expression math´ema-
tiqueidentique ........................ 6
2.3.2 Les structures alg´ebriques.................. 6
2.3.3 L"apport de l"analogie et son myst`ere............ 7
3Leprobl`eme ´epist´emologique 8
3.1 La th´eorie deP´olya......................... 8
3.1.1 Raisonnement d´emonstratif et raisonnement plausible . . 8
3.1.2 Heuristique.......................... 8
3.1.3 Les r`egles d"inf´erenceplausible ............... 10
3.2 La th´eorie dePoincar´e....................... 10
3.2.1 L"analogie est un sens suppl´ementaire ........... 10
3.2.2 Rapports avec la pens´ee deMach............. 11
3.2.3 L"analogieunifie ....................... 12
3.3 La th´eorie deLeibniz........................ 12
3.3.1 ArsCombinatoria ...................... 12
3.3.2 Le langage est analogique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.3.3 Du bon choix des caract`eres................. 13
3.3.4 ArsInveniendi ........................ 13
4Conclusion 14
4.0.1 La th´eorie des mod`eles.................... 14
4.0.2 R´esultatsconcrets ...................... 14
4.0.3 Bilan.............................. 15
1
1 Introduction
Voici comment AlfredTarski[9] qualifie l"analogie : elle peut apparaıtre entre"deux groupes de concepts plutot ´eloign´es du point de vue du contenu» d`es qu"on compare leur"role»ainsi que les"relations internes entre les concepts de chaque groupe».Onpeutalors"constater un large parall´elisme entre les deux groupes»,i.e.une sorte de dictionnaire de traduction. Mais on ne peut restreindre le terme d"analogie `a de tels cas de figure : le raisonnement analogique est sous-jacent `a une grande partie des calculs math´e- matiques. En effet, comme le dit HenriPoincar´e[6],"des ´el´ements vari´es dont nous disposons, nous pouvons faire sortir des millions de combinaisons dif- f´erentes»,i.e.le"fait brut», mais seule la"combinaison qui prendra place dans une classe de combinaisons analogues»permettra de sentir"l"ame du fait.» Apr`es avoir dress´e une sorte d"inventaire des analogies, je tacherai d"inspec- ter la pens´ee de GeorgeP´olya,HenriPoincar´eet G.W.Leibnizpour pouvoir comparer leur point de vue et identifier les diff´erentes caract´eristiques de l"ana- logie. En conclusion, il s"agira d"´evaluer quel lien il y a entre ce concept et la th´eorie des mod`eles.
2Lapratiquemath´ematique
L"analogie apparaıt sous des formes multiples dans le travail du math´emati- cien. On peut tenter d"en dresser un ´echantillon significatif, en allant des plus floues au plus pr´ecises. On verra comment, en se pr´ecisant, elles concernent de moins en moins les proc´ed´es et de plus en plus les objets.
2.1 Les analogies purement heuristiques
Beaucoup de ces analogies ont un caract`ere purement heuristique, ne sont justifi´ees par aucun raisonnement d´eductif, ne sont pas formalisables en l"´etat. Mais bien qu"elles ne soient pas un guide toujours tr`es sur, elles sont pr´ecieuses en ce qu"elles rendent intelligibles des r´esultats parfois tr`es abstraits. Elles se constituent empiriquement, se diff´erencient `a mesure des exp´eriences proba- toires, peuvent un jour peut-etre soit etre prouv´ees, soit rejet´ees.
2.1.1 Le caract`ere empirique des analogies
Un exemple r´ecent en analyse fonctionnelle est l"analogie du comportement des triplets d"espaces deBanach(c 0 ,l 1 ,l )et(K(H),N(H),B(H)), o`uHest un espace deHilbert. Il illustre le sens ´etymologique de l"analogie : identit´e de rapports. L"exemple, comme on va le voir, est pr´ecieux en ce que, parce qu"´elabor´e, il fait ressortir le caract`ere formel de l"analogie : meme un non- math´ematicien la remarquerait sans s"attarder sur le sens des concepts. En effet, l 1 est `ac 0 ce queN(H)est`aK(H),l est `al 1 ce queB(H)est`aN(H), en l"occurrence le dual.c 0 est `al ce queK(H)est`aB(H) : un sous-espace ferm´e 2 pour la topologie de la norme, dense pour la topologie *-faible. Mais ces rapports sont propres `a la dualit´e d"espaces deBanach, et l"utilit´edel"analogienepeut en provenir. En fait, il y a d"autres rapports beaucoup plus flous, mais aussi plus efficaces : ainsi les normes de ces espaces s"´ecrivent ?x? c0 =?x? l∞ =sup n?N |x n |et?f? K(H) =?f? B(H) =sup ?f(x)? H i.e.les formes des expressions des normes se ressemblent en ce qu"elles font intervenir chacune un sup! Le deuxi`eme rapport essentiel est que c 0 ={x?l etx n →0}etK(H)={f?B(H)etf({?x? H i.e.ces deux espaces exercent un controle sur le comportement `a l"infini de leurs
´el´ements.
Ces deux rapports sont formels, mais l"analogie ne paraıt pas formalisable : ils permettent, toujours dans une certainemesureseulement,depr´evoir le compor- tement d"un espace `a partir de son analogue, et de transposer certains proc´ed´es.
2.1.2 L"analogie comme guide de la d´ecouverte
L"analogie n"est pas toujours sanctionn´ee par une longue pratique. Elle cons- titue parfois une d´ecouverte consid´erable et t´em´eraire qui engage alors les ma- th´ematiciens `a tenter de justifier le r´esultat obtenu. Ainsi, la d´emonstration par
LeonhardEuler[2] de la formule
n=1 1 n 2 2 6 proc`ede de la factorisation d"une s´erie enti`ere `a l"aide de ses z´eros par analogie avec la factorisation d"un polynome `a l"aide de ses racines. Remarquons que, bien que l"analogie soit nouvelle, sa formulation pr´esupposait une longue pra- tique de l"analyse alg´ebrique. En fait, cette analogie a men´e`a long terme au d´eveloppement de tout un pan de l"analyse complexe. Elle a eu une carri`ere qui l"a ´elev´ee de son statut de tour de magie `a celui de th´eor`eme sur les fonctions enti`eres. Mais du temps d"Euler, elle ne devenait plausible qu"`a cause de sa concordance avec les faits. D"ailleurs, il en ´eprouva la plausibilit´eenluifaisant red´emontrer un th´eor`eme connu; finalement, il trouva une autre voie pour d´e- montrer le meme th´eor`eme. Cela ne l"empecha ni de douter jusqu"`alafindela qualit´e de l"argument, ni de lui accorder une confiance certaine. Ainsi, l"analogie est un guide de la d´ecouverte accessible aux plus hardis, mais elle n"est pas fon- damentalement fiable : seul le flair d"un math´ematicien commeEulerpermet d"´eviter les m´eprises auxquelles elle invite.
2.2 Les analogies g´en´eralisatrices
La classe des analogies g´en´eralisatrices diff`ere de celles que nous venons d"examiner : en effet, meme si le raisonnement plausible d"Eulerg´en´eralise un 3 th´eor`eme sur les polynomes, ce n"est qu"un argument purement heuristique : il ne tente pas de faire de cette g´en´eralisation particuli`ere un th´eor`eme. D"ailleurs, contrairement aux exemples de cette section, il ne tente pas de transposer de raisonnement pour le d´emontrer.
2.2.1 Le passage heuristique `auncadrediff´erent
Une des pratiques math´ematiques les plus f´econdes est l"´enonciation d"hypo- th`eses au sujet d"objets et d"op´erations par analogie `a des objets et op´erations plus simples. Cette d´emarche est g´en´erale et les exemples sont innombrables. N´eanmoins, la justification de ces analogies,i.e.leur raison d"etre peut prendre tr`es longtemps et parfois encore etre hors de vue. De plus, le choix des analogues n"est pas toujours univoque. Par exemple, tant des hypoth`eses sur la pyramide -objetquir´esulte de l"adjonction d"un point dans l"espace `a une figure plane -quesurlet´etra`edre - le poly`edre le plus ´el´ementaire - peuvent faire appel `a l"analogieavecletriangle:c"estleplus´el´ementaire des polygones et il r´esulte de l"adjonction d"un point dans le plan `a une figure lin´eaire. Chacune des analogies concerne un des aspects du triangle. On peut citer comme exemple le passage de th´eor`emes dans le plan `ades th´eor`emes dans l"espace - et meme dans l"espace vectoriel `andimensions. Cette analogie continue aujourd"hui plus que jamais `aetre exploit´ee, comme dans l"´etude r´ecente des corps convexes dans les espaces deBanach,oudu comportement asymptotique des espaces deBanachquand leur dimension tend vers l"infini.
De meme, la formule d"Abel(1826),
n k=0 u k v k =U n v n -U 0 v 0 n-1 k=1 U k Δv k ,o`uU k k j=0 u j d"apparence plus ´el´ementaire mais d"apparition bien plus tardive que la formule d"int´egration par parties, en est un analogue discret. Sa d´emonstration est bien diff´erente, mais l"id´ee meme de la formule provient de l"analogie deUavec une int´egrale et de Δ avec la d´erivation. Il s"agissait d"ailleurs de g´en´eraliser des raisonnements sur des int´egrales oscillantes du cas continu au cas discret : c"est cette application qui a pouss´eAbel`ad´emontrer ce r´esultat. Elle permet par exemple de d´emontrer de mani`ere analogue des convergences d"int´egrales et de sommes de termes g´en´eraux analogues. Un si`ecle plus tard, la th´eorie de l"int´egrale deLebesguetentera de r´eunir les deux points de vue en introduisant la notion de mesure. Mais il y aussi des analogies qui ne fonctionnent pas. Ainsi, le comporte- ment des familles de polynomes{? x k ?}et{ x k k! }est analogue en ce qui concerne les polynomes. Mais alors que l"utilit´e de la seconde se prolonge `al"´etude des fonctions holomorphes,P´olyalui-meme n"a pas r´eussi `aassocier`alapremi`ere famille des r´esultats analogues de meme f´econdit´e. L"analogie est ici un guide pour la direction `a suivre plus formel que conten- tuel : il s"agit de d´evelopper un langage qui s"applique aux deux syst`emes et 4 de transposer les th´eor`emes connus d"un syst`eme `a l"autre. Ce caract`ere formel permet de suppl´eer `a une intuition d´efaillante et memeded´evelopper une sen- sibilit´e analogique. L"analyse du langage ne se fait pourtant jamais au-del`ade la n´ecessit´e pragmatique. Ainsi, le parall´elisme d"une partie de deux syst`emes peut cacher des divergences, ce qui explique la faillibilit´e de ces analogies et la multivocit´edeshypoth`eses analogues.
2.2.2 D´efinitions par analogie dans un cadre plus g´en´eral
Lesnouvellesth´eories qui ´emaillent le d´eveloppement des math´ematiques n"auraient jamais pu r´ecup´erer la force des th´eories qu"elles ont remplac´esion n"avait pas syst´ematiquement tent´e de reconstruire dans leur propre langage les vieux concepts. En g´en´eral, on veut pr´eserver la possibilit´e de certains calculs, la force d"un th´eor`eme, plutot que la forme originelle de la notion, souvent inad´equate par rapport au cadre nouveau, pourvu que l"on puisse montrer que sa nouvelle d´efinition se ram`ene `a l"ancienne dans le cadre restreint. On dirait aujourd"hui que l"extension de la notion est conservative. On cherche donc `a adapter une notion de sorte que son role ne change pas dans certaines formules g´en´eralisables. Le choix de ces formules est empirique. Les exemples les plus flagrants sont le d´eveloppement de la topologie g´en´erale et la th´eorie de la distribution. Dans le premier exemple, la notion de compa- cit´e-"de toute suite on peut extraire une suite convergente»-setrouve g´en´eralis´ee du cadre m´etrique au cadre axiomatique en prenant pour d´efinition un th´eor`eme de recouvrement qui ne fait pas intervenir la notion de suite. En th´eorie des distributions, la notion d´ecisive de convolution devant etre adapt´ee - la notion originelle n"aurait plus de sens pour ces objets g´en´eraux -, on choisit une formule caract´eristique. Sachant que pour deux fonctions test fetg, f?g(x)=? f(x-y)g(y)dy=? f(y)g(x-y)dy=? f(y)g(y-x)dy f(y)τ x g(y)dy, on peut transposer cette formule avec le seul usage de l"op´eration de dualit´e, ce qui m`ene `alad´efinition suivante. Pourfdistribution etgfonction test, on pose f?g(x)=?f, τ x g?. Cette analogie se r´ev´elera dangereuse : en effet, meme si l"extension est conservative, l"existence de cette convol´ee ne peut etre montr´ee que dans des cas tr`es particuliers : cette d´efinition reste contradictoire si on veut l"admettre pour toutes les distributions. De plus, il faut des hypoth`eses suppl´ementaires pour conserver une propri´et´e habituelle comme l"associativit´e. C"est ainsi qu"il faut toujours se poser la question du domaine de validit´ede l"analogie. Mais cette v´erification se faita posteriori. C"est ainsi que l"usage de l"analogie engendre l"´elaboration de th´eor`emesad hocpour autoriser son usage. 5 On peut remarquer que cette ´elaboration d"analogies correspond parfaite- ment `alatechniquepr´esent´ee dans la section pr´ec´edente : cela illustre l"analogie que fait AlfredTarski[9] entre les notions de d´educibilit´eetded´efinissabilit´e.
2.3 Les analogies fond´ees sur une ressemblance formelle
Cette section d´ecrit plusieurs cas d"analogie entre deux domaines bien dis- tincts, ou entre deux probl`emes qui se sont pos´es dans deux contextes bien distincts.
2.3.1 Une ressemblance peut mener `a une expression math´ematique
identique Un cas fulgurant d"analogie de deux probl`emes physiques est la r´esolution par JeanBernoullidu probl`eme de la brachystochrone. ErnstMachla qualifiera d"uvre d"art et lui, d"artiste. En effet, il remarque que la solution du probl`eme suivant : Soient deux points de l"espace donn´es. Quelle est la pente courbe entre les deux points que doit suivre un point mat´eriel soumis `alagravitation pour la parcourir dans un temps minimal? est analogue au probl`eme du chemin d"un rayon lumineux traversant l"atmo- sph`ere, les extr´emit´es du chemin ´etant connues : dans les deux cas, la vitesse est fonction de l"altitude uniquement et le temps de parcours est minimal. Pour le premier probl`eme, c"est une cons´equence du th´eor`eme de l"´energie cin´etique et de l"hypoth`ese; pour le deuxi`eme, cela r´esulte de ce que la vitesse de la lumi`ere d´epend uniquement de la densit´e du milieu qu"il traverse, qui est fonction de l"altitude, et du principe deFermat. Les deux probl`emes sont donc analogues par leur expression math´ematique et leur solution math´ematique est la meme. Il suffit alors `aJeanBernoullid"appliquer la loi deDescartesaux angles d"incidence et de r´efraction entre couches planes infinit´esimales o`u la vitesse est constante. L"analogie est donc comprise et r´esolue par la r´eduction `a une expression math´ematique identique.
2.3.2 Les structures alg´ebriques
Certaines analogies entre deux th´eories math´ematiques peuvent mener `a une unification du point de vue dont les deux th´eories seront des applications; pour cela, il faut que l"analogie puisse etre compl`etement ´elucid´ee. HenriPoincar´e en cite un exemple : les th´eorie de la congruence et des ´equations alg´ebriques. En effet, les notions de divisibilit´e de nombres naturels et de factorisation d"un polynome par un autre sont analogues et donnent naissance `alameme structure alg´ebrique : celle des anneaux euclidiens. En effet, tous les th´eor`emes de congruence ont une d´emonstration semblable dans toutes les th´eories dot´ees de la division euclidienne -i.e.l"existence pour tout couple d"´el´ements de leur quotient et du reste de leur division. 6 Totalement ´elucider une analogie signifie ici en fait trouver une structure axiomatique commune aux objets analogues, qui en deviennent des mod`eles. On peut alors passer `al"´etape sup´erieure : l"´etude de la structure d´efinie par un syst`eme d"axiomes - en g´en´eral non cat´egorique.
2.3.3 L"apport de l"analogie et son myst`ere
Nous avonsvu comment l"analogie guide le math´ematicien dans son intuition. L"exemple pr´ec´edent montre deux th´eories qui se sont d´evelopp´ees distinctement et qui, d"un coup, grace `alacompr´ehension de la nature de l"analogie, se sont unifi´ees. L"analogie est ainsi toujours une d´ecouverte, toujours formelle et en cela surprenante. Elle permet d"enrichir le vocabulaire de chaque domaine en tentant de cr´eer les bons objets pour qu"il y ait une correspondance parfaite : on remplit les blancs laiss´es dans l"´ecriture de la correspondance par analogie. Elle permet de transf´erer des d´emonstrations et aussi des hypoth`eses d"une th´eorie `a l"autre : la signification d"un ´enonc´eformelpeutetre plus facile `a saisir dans un "mod`ele»que dans l"autre. En fait, l"analogie permet de mieux comprendrequotesdbs_dbs16.pdfusesText_22
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