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GRAPHES - CORRECTION - AlloSchool
de degré impairs Pour les trois autres graphes c’est possible En ce qui concerne le 3ème graphe tous les sommets étant de degré pair on a même l’existence d’un cycle eulérien Exercice n°11 En numérotant les pièces et en matérialisant les portes par des arêtes on traduit la situation par le graphe ci-dessous :
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Éléments de théorie des graphes - Quelques exercices d’application (avec solutions) page 1 ÉLÉMENTS DE THÉORIE DES GRAPHES QUELQUES EXERCICES D’APPLICATION (AVEC SOLUTIONS) Le but principal de cette série d’exercices et de servir de « source d’inspiration »
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Logiques de description, et ontologies en logiques de description Toolbox 2 Modélisation des Systèmes - Mines Saint-Etienne
3 mai 2016
1 Ontologies en logique de descriptionExercice1(Sémantique).DanslalogiquededescriptiondebaseAL,soitl"interprétationsuivante:
(a)¢IAE{a,b,c,d,e,f,g}; (b)HommeIAE{a,b,c,g}; (c)aEnfantIAE{(a,c),(b,d),(b,e),(c,g)}; (d)marieAvecIAE{(b,f),(f,b)}; Quelles sont les interprétations des concepts suivants? (a)ParentI; (b)ParentDeFemmeI; (c)CelibataireI; (d)HommeMarieI;Corrigé.Les interprétations des concepts sont : (a)ParentIAE{a,b,c}; (b)ParentDeFemmeIAE{b}; (c)CelibataireIAE{a,c,d,e,g}; (d)HommeMarieIAE{b};1 Exercice 2(Transformée).Exprimer en logique des prédicats les propositions suivantes : (a)BvAu(·1.g); (b)Av:(8f1.(9f2.:B)); (c)>v(·1.f).Corrigé.En logique des prédicats : (a) :BvAu(·1.g)8x,B(x)!¡Au(·1.g)¢(x)
$8x,B(x)!A(x)^(·1.g)(x) (b) :Av:(8f1.(9f2.:B))8x,A(x)!¡:(8f1.(9f2.:B))¢(x)
$8x,A(x)!:¡(8f1.(9f2.:B))¢(x) $8x,A(x)!:¡8y,f1(x,y)!(9f2.:B)(y)¢ (c) :>v(·1.f)8x,>(x)!(·1.f)(x)
8x,(·1.f)(x)
8x,y1,y2,f(x,y1)^f(x,y2)!y1AEy22
Exercice 3(Constructeurs).Dans la logiqueALUC, démontrer les propriétés suivantes par équi-
valence avec la logique de prédicats : (a)>´Ct:C; (b):(CuD)´(:Ct:D); En déduire que les logiquesALUCetALCsont équivalentes.Corrigé.En logique des prédicats : (a) : démontrons que>´Ct:C. Soitxquelconque, (Ct:C)(x) $C(x)_:C(x) $(>)(x) Donc8x,(Ct:C)(x)$>(x), ce qui en logique de description s"écrit :Ct:C´> (b) : démontrons que:(CuD)´(:Ct:D). Soitxquelconque, (:(CuD))(x) $:(CuD)(x) $:(C(x)^D(x)) $:C(x)_:D(x) $(:C)(x)_(:D)(x) $(:Ct:D)(x) Donc8x,(:(CuD))(x)$(:Ct:D)(x), ce qui en logique de description s"écrit ::(CuD)´ (:Ct:D) Ainsi, puisqueuest un constructeur de base dansAL, si en plus on autorise les constructeurs de classe:ett(on se situe alors dansALUC), alors toute formule qui contienttpeut se réécrire enune formule qui ne le contient pas. Donc autoriser la négation (ALC) est équivalent à autoriser la
négation et l"union (ALUC).3Exercice 4(Constructeurs).Dans la logiqueALEC, démontrer les propriétés suivantes par équi-
valence avec la logique de prédicats : (a)¸1.gu8g.Cv9g.C; (b):9f.C´8f.:C;Corrigé.En logique des prédicats : (a) : démontrons que¸1.gu8g.Cv9g.C. Soitxquelconque, (¸1.gu8g.C)(x) $(¸1.g)(x)^(8g.C)(x) $(9y,g(x,y))^¡8z,g(x,z)!C(z)¢ $9y,g(x,y)^¡8z,g(x,z)!C(z)¢ !9y,g(x,y)^(g(x,y)!C(y)) on fixezAEy, et on perd l"équivalence !9y,g(x,y)^C(y) !(9g.C)(x) (b) : démontrons que:9f.C´8f.:C. Soitxquelconque, (:9f.C)(x) $:(9f.C)(x) $:¡9y,f(x,y)^C(y)¢ $8y,:f(x,y)_:C(y) $8y,f(x,y)!:C(y) $(8f.:C)(x) Donc8x,(:9f.C)(x)$(8f.:C)(x), ce qui en logique de description s"écrit ::9f.C´8f.:C4Exercice5(Représentation d"une inférence entre des graphes).Soitfun rôle fonctionnel, i.e.,>v
(·1.f). Soit une "règle de contraction" deBillustrée par la figure suivante :A:xy ff B:xCette règle s"exprime en logique du premier ordre de la manière suivante : (8x)[(9y)[A(x)^f(x,y)^f(y,x)]!B(x)] par l"axiome suivant en logiques de description :Au:BvRu(8f.(8f.:R))
1. Démontrer que la règle exprimée en logique du premier ordre est équivalente à la proposition
suivante : (8x)[A(x)^:B(x)!(8y)[:f(x,y)_:f(y,x)]]2. Soitxquelconque. Démontrer que :
Ru(8f.(8f.:R))!(8y)[:f(x,y)_:f(y,x)]
3. Conclure.5
Corrigé.1. réécrivons chacune des expressions : (8x)[(9y)[A(x)^f(x,y)^f(y,x)]!B(x)] $(8x)[B(x)_:(9y)[A(x)^f(x,y)^f(y,x)]] $(8x)[B(x)_(8y)[:A(x)_:f(x,y)_:f(y,x)]] $(8x,y)[B(x)_:A(x)_:f(x,y)_:f(y,x)] et : (8x)[A(x)^:B(x)!(8y)[:f(x,y)_:f(y,x)]] $(8x,y)[:f(x,y)_:f(y,x)_:A(x)_B(x)]2. démontrons que
Ru¡8f.(8f.:R)¢´
(x) $R(x)^³ $R(x)^³ $R(x)^³ !R(x)^³ on fixezAEx3. Ainsi, le membre de gauche de l"axiome en logique de description est équivalent au membre de
gauche de l"équation 1, et le membre de droite de l"axiome en logique de description implique lemembre de droite de l"équation 2. Donc, l"axiome en logique de description implique l"équation 1,
et donc la règle de contraction.6quotesdbs_dbs17.pdfusesText_23