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Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5

La résolution des problèmes

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7

Les problèmes quaternaires

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8

Les langages pour exprimer la proportionnalité

. . . . . . . . . . . . . . . . .8 Résolution d"un problème de proportionnalité p ar différentes procédures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9

Les problèmes particuliers

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18

Les énoncés

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27

Les facteurs de difficultés

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29

La mise en oeuvre dans les classes

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33

Les procédures dans les ma

nuels scolaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33 Comment utiliser les problèmes présentés dans cet ouvrage ? . . .35 Complémentarité entre l"ouvrage et les carnets "élèves» . . . . . . . .36

Un exemple de séquence d"enseignement

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37 Un exemple de progression en cycle 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48

Synthèse des procédures

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .50 Tableau récapitulatif des procédures et problèmes associés . . . . . .54

Les problèmes et leurs corrigés

Les problèmes usuels

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57 Thème 1.Problèmes de recherche de la quatrième proportionnelle . .59 Thème 2.Problèmes de division (partition et quotition) . . . . . . . . . .73

Proportionnalité ou pas

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .74

Thème 3.Tableaux

et graphiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .77 Thème 4.Compréhension du monde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .87 Thème 5.Problèmes de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .91

Les problèmes complexes

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .95 Thème 6.Problèmes de partages proportionnels . . . . . . . . . . . . . . . .97

Thème

7.Problèmes de pourcentage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .99

Thème 8.Problèmes d"échelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .107 Thème 9.Problèmes de vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .111 Thème 10.Problèmes de proportionnalité simple composée . . . . .115

Conclusion

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .117

Annexes

Lexique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .119

Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .122

Résumé des procédures accessibles à un élève . . . . . . . . . . . . . . . . . .124

3

Les problèmes de proportionnalité

200 problèmes corrigés

Sommaire

De manière très succincte, les programmes 2008 indiquent qu"au cycle 3, il s"agit de "Résoudre des problèmes relevant de la proportionnalité et notamment des problèmes relatifs aux pourcen- tages, aux échelles, aux vitesses moyennes ou aux conversions d"unité, en utilisant des procé- dures variées (dont la " règle de trois)». Ainsi la " règle de trois » réapparaît après une longue absence à l"école primaire. Les ensei- gnants doivent donc se réapproprier cette procédure dont les fondements et les acceptions ont largement varié au cours du temps. Plus généralement, ce retour invite à une réflexion sur l"enseignement de la proportionnalité dont les éléments constitutifs ont évolué. Malgré la réap- parition des problèmes dits " de la vie courante » dans les programmes, les types et formes d"énoncés se sont adaptés aux besoins des futurs citoyens. Exit les problèmes de robinets qui fuient, ils laissent la place à des énoncés séman- tiquement plus riches, à la lecture de tableaux, à la création et compréhension de graphiques... Le niveau d"exigence a également changé. La tâche des enseignants s"est complexifiée : il ne suffit plus d"apprendre aux élèves à résoudre une seule catégorie de problèmes de proportionnalité avec une méthode standard telle que la règle de trois. À la fin de la scolarité obligatoire, les élèves doivent pouvoir résoudre des problèmes variés, de manière plus pertinente, plus rapide, plus efficace. Ils doivent approcher le paradigme de la proportionnalité. Comment atteindre ces objec- tifs?

L"ambition de cet ouvrage est de permettre au

lecteur d"appréhender la modélisation implicite-ment contenue dans l"énoncé du problème, de

clarifier les procédures de résolution et de s"ap- proprier la puissance du concept. Des propositions de mise en oeuvre sont aussi apparues comme essentielles.

Cet ouvrage propose d"abord une mise au point

théorique et didactique puis il présente 200 pro- blèmes corrigés relevant ou non de la proportionnalité et conçus à partir des assertions suivantes. La première idée est qu"un tel concept ne peut se concevoir sans être mis en relation avec les concepts de grandeurs et mesures, de structure multiplicative, de nombres, de fonction linéaire. La seconde idée est qu"un tel concept se rencon- tre dans au moins trois registres différents : numérique, graphique, géométrique. C"est l"inter- action entre ces différents registres qui permet aux connaissances de se construire. La troisième idée est que l"obstacle le plus coriace se situe entre la reconnaissance du modèle mathéma- tique et son traitement. Après lecture des énoncés, examen des données numériques et identification d"une situation liée à la proportion- nalité, deux étapes sont privilégiées dans l"ouvrage : la mise en tableaux et l"appui sur un choix raisonné de procédures. Enfin, même si à l"école élémentaire la proportionnalité n"en est qu"à ses prémices, il ne s"agit pas d"éliminer les difficultés, mais de les graduer et de se situer dans un niveau de complexité à la portée cogni- tive des élèves. Afin de ne plus laisser les élèves démunis face à ces problèmes réputés ardus, la diversité des énoncés et des procédures proposées leur per- 5

Les problèmes de proportionnalité

200 problèmes corrigés

Introduction

sans problème

La proportionnalité

6

200problèmescorrigés

mettra d"accéder au sens de la proportionnalité e t de faire des liens avec les problèmes référents proposés dans le résumé. Les problèmes de l"ouvrage sont majoritairement quaternaires : les énoncés mettent en jeu trois nombres et il faut en chercher un quatrième. Ils relèvent de situations de division, de proportion- nalité simple (ou de non proportionnalité), de conversions, de comparaisons, d"échelles, de pourcentages et de mesures quotients (vitesse moyenne). La notion d"agrandissement au sens géométrique a volontairement été évacuée ainsi que la propor- tionnalité multiple.L es problèmes sont gradués selon quatre niveaux d e différenciation figurés par un système d"étoiles. Ils concernent des élèves de CM1/ CM2, mais également de début de collège. Ils sont d"abord classés par grandes catégories, puis par procédures de résolution. Les enseignants pourront suivre cette organisation s"ils souhaitent privilégier une approche " automatisée ». Mais, pour éviter que les élèves, alertés par le titre, ne résolvent les problèmes de façon trop mécanique, il convient de mélanger les divers énoncés. Pour cela, ils pourront utiliser avec profit les carnets "élèves ». sans problème

La proportionnalité

48

200problèmescorrigés

Un exemple de progression en cycle 3

Période 1Période 2Période 3Période 4Période 5 Calcul mémorisé : révision des tables : a x b = ? ; a x ? = c ; ? x b = c . Relation (s) entre les nombres inscrits dans un tableau.

Calcul réfléchi (aspect additif).

Utilisation de calculatrices afin de déterminer les relations " simples » entre les nombres d"un tableau.

Calcul

cycle 3Pbs multiplicatifs ou divisifs

Proportionnalité

CM1

ProcéduresProblèmes

associés

Problèmes de

proportionnalité recherche de quatrième proportionnelle

Problèmes de

comparaison

Propriétés de

linéarité; utilisation du coefficient de proportionnalité et réduction à l"unité (règle de trois).Quelques problèmes de partages proportionnels

Problèmes de

pourcentages, d"échelles, de vitesses.

Propriétés de

linéarité; utilisation du coefficient de proportionnalité et réduction à l"unité (règle de trois).Problèmes multiplicatifs et problèmes de division quotition et de division partition.Observer des tableaux de nombres, tableaux de proportionnalité et de non proportionnalité.

Situations de

proportionnalité et de non proportionnalité.

Organisation de

données dans unquotesdbs_dbs6.pdfusesText_11