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Ce document présente la notion de limites et de continuité des fonctions en terminale partie 1 Il contient des définitions des propriétés des exemples et des exercices corrigés Il s'agit d'un complément aux vidéos disponibles sur le site maths et tiques
LIMITE ET CONTINUITE - Moutamadrisma
2Bac S M Limite et continuité A KARMIM 1 LIMITE ET CONTINUITE I) CONTINUITE D’UNE FONCTION NUMERIQUE EN UN POINT 1) Activité et rappelles 1 1 Activités : Activité 1 : Déterminer les limites suivantes : lim ?1 3 2? 2 3+2 ?4 lim ?2 ?4 +1?3 2?3 +2 lim ?0 ???? 7 3 lim ????? 2
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2 Bac SVT & PC Limites et continuité A. KARMIM 1 IHH FHH I) LIMITE DUNE FONCTION 1) Activité et rappelles 1.1 Activités : Activité 1 : Déterminer les limites suivantes : Activité 2 : Considérons la fonction définie par : - 1- Déterminer 2- a) Déterminer : . b) Comparer et On dit que est continue en 2) Rappelles 2.1 Définition Définition : Soit une fonction définie sur un intervalle pointé de centre et un réel. On dit que la fonction tend vers le réel quand tend vers si : --- 2.2 Opérations sur les limites 2) Opérations sur les limites Toutes les propriétés qui seront citées dans ce paragraphe sous forme de tableau sont admises et on peut les démontrer en utilisant les définitions des limites. 1) Limite de la somme Formes indéterminées Ces propriétés sont vraies si tend vers ou Formes indéterminées Veut dire uon ne peut pas calculer la limite directement, il faut faire dautres calcules car il y a plusieurs cas. Exemples : -( , ( on a ; et
2 Bac SVT & PC Limites et continuité A. KARMIM 2 -( , on a ; et (( Dans les deux exemples on a le même cas que dans la dernière colonne du tableau mais on a deux résultats différents 2) Limites des produits - ou - ou - Formes indéterminées 3) Limites des inverses - - - - Remarque : - veut dire que tend vers 0 mais de la droite. - - - - chose uon oit bien sur la courbe de la fonction 3) Limites des quotients - ou - ou - - - - - - - Formes indéterminées Formes indéterminées Exemple : On veut déterminer la on a : On a : -- Donc Remarque : Eiter dcrire ces epressions ui nont pas de sens mathmatiue : , Ne pas utiliser ou dans les opérations dans ( et ne sont pas des réels)
2 Bac SVT & PC Limites et continuité A. KARMIM 3 Exercices Déterminer les limites suivantes : II) CONTINUITE DUNE FONCTION EN UN POINT Définition : Soit une fonction définie sur un intervalle de centre . On dit que la fonction est continue en si : elle admet une limite finie en Cest-à-dire : --- Exemples : Considérons la fonction définie par : -- ---- -- En utilisant la notion des limites étudier la continuité de la fonction en -. 3- Interprétations graphiques 3.1 Activité : Activité 1: Considérons la fonction définie par : - 1- Déterminer et étudier la continuité de la fonction en 2- Représenter graphiquement la fonction . Activité 2 : Considérons la fonction définie par : -- 1- a) la fonction admet-elle une limite en b) la fonction est-elle continue en 2- Représenter graphiquement la fonction .
La courbe de la fonction est la parabole de sommet et dae2 Bac SVT & PC Limites et continuité A. KARMIM 4 3.2 Interprétations La courbe Linterprtation -((- est définie en nadmet pas de limite en nest pas continue en --(- - est définie en admet une limite en et nest pas continue en --(- est définie en admet une limite en et est continue en Exercice : Etudier la continuité de la fonction --- III) CONTINUITE A DROITE CONTINUITE A GAUCHE. 1) Activité et définition. 1.1 Activité. Introduction Dans leercice prrcedent o était définie par : -- ---- -- On a trouvé que : - ; on dit que la fonction est continue à gauche de 2 et - on dit que la fonction est pas continue à droite de 2. 1.2 Définitions Définition Soit une fonction définie sur un intervalle de la forme (où - ) On dit que la fonction est continue à droite de si : admet une limite finie à droite de et
Utiliser le faite que
2 Bac SVT & PC Limites et continuité A. KARMIM 5 Cest-à-dire : --- Soit une fonction définie sur un intervalle de la forme (où - ) On dit que la fonction est continue à gauche de si : admet une limite finie à gauche de et Cest-à-dire : --- Théorème Une fonction est continue en un point si et seulement si elle est continue à droite et à gauche de Exercice 1: Etudier la continuité de la fonction en Exercice 2 : Soit la fonction définie par : - -- Existent-t-il et pour que soit continue en 2 ? III) OPERATIONS SUR LES FONCTIONS CONTINUES. 1) Continuité sur un intervalle Définition : Soit une fonction dont le domaine de définition est , soit un intervalle inclus dans On dit que est continue sur louert si elle est continue en tout point de On dit que est continue sur si elle est continue sur et à droite de On dit que est continue sur si elle est continue sur , à droite de et à gauche de Remarque : Si une fonction est continue sur et sur elle est continue sur En général si est continue sur un intervalle et sur un intervalle et si alors est continue sur . peut-être continue sur et sur sans uelle soit continue sur Dans le graphique ci-dessous estcontinue sur - et continue sur [0,2] mais pas continue sur - car elle nest pas continue en 0
2 Bac SVT & PC Limites et continuité A. KARMIM 6 - - 2) Opérations sur les fontions continues 2.1 Rappelles sur les opérations sur les limites finies Propriété : Soient et deux fonctions tels que : on a : - - - Ces propriétés sont vraies droite et gauche dun rel . 2.2 Opérations sur les fonctions continues Grace à la propriété précédente et à la définition de la continuité on peut en déduire : Propriété : Si et sont deux fonctions continues en alors : sont des fonctions continues en T Si et sont deux fonctions continues en et - alors sont des fonctions continues en . Si une fonction continue en et - alors : est continue en Remarque : La propriété précédente reste vraie soit à droite de , à gauche de ou sur un intervalle (En tenant compte des conditions)
2 Bac SVT & PC Limites et continuité A. KARMIM 7 Résultat : Une fonction polynôme sur est définie comme la somme des plusieurs monômes Et puisque la fonction est continue sur donc la fonction et par suite Propriété : Tout fonction polynôme est continue sur Propriété : Toute fonction rationnelle est continue sur tout intervalle Propriété : Les fonctions et sont continue sur Exemples : est continue sur car étant une fonction polynôme donc elle est continue sur de plus - (Son discriminant est négatif) est continue sur ; sur et sur . La fonction est continue sur tous le intervalles de la forme : ( où ) IV) IMAGE DUN INTERVALLE PAR UNE FONCTION CONTINUE 1) Image dun segment (interalle ferm) : Activité : Le graphe ci-contre est le graphe de la fonction - 1- Déterminer graphiquement les images des intervalles - , ; 2- Montrer algébriquement que Rappelle : Théorème : (Admis) Limage dun segment par une fonction continue est le segment où : et
2 Bac SVT & PC Limites et continuité A. KARMIM 8 La courbe ci-contre est la courbe de la fonction -
Cas particulier : Si est continue croissante sur alors Si est continue décroissante sur alors Remarque : La continuité dans le théorème précèdent est suffisante mais pas nécessaire Dans la figure ci-contre nest pas continue mais ---- 2) Image dun interalle. 2.1 Théorème général Théorème (admis) Limage dun interalle par une fonction continue est un interalle. Remarque : Linteralle et son image par une fonction continue nont pas nécessairement la même forme. Dans le cas de la courbe ci-contre on a : ---