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Pression atmosphérique en fonction de l"altitude

Marcel Délèze

1. Formule barométrique (atmosphère isotherme)

1.1 Poser l"équation différentiellezz+haltitudeNotonsla masse volumique moyenne de l"air entre les altitudes z et z+h. D"après la

loi de la croissance de la pression, la pression à l"altitude z est p(z) =p(z+h) + gh d"où p(z+h)p(z)h =g

Passons à la limite h!0

dpdz =(z)g où(z) désignme la densité de l"atmosphère à l"altitude z. Calculonsen supposant qu"il s"agit dun gaz parfait et que l"atmosphère est isotherme pV=nRT =mV =pmn 1RT =pMRT où M=mn désigne la masse molaire de l"air. L"équation différentielle avec condition initiale de la fonction z7!p(z) s"écrit alors dpdz=pMgRT ; p(0) =p0 Pression atmosphérique en fonction de l"altitude 2 où MgRT =constante, etp0est donné

1.2 Résoudre l"équation différentielle

L"équation différentielle est de la forme

p 0=ap où a=MgRT est constant. Il s"agit donc d"une équation différentielle du premier ordre linéaire ho- mogène à coefficient constant. On utilise la méthode de la séparation des variables. Sous l"hypothèsep >0, dpdz =MgRT p Z 1p dp=MgRT Z dz ln(p) =MgRT z+k

où la constante d"intégration k est déterminée à partir de la condition initiale (pour

z= 0, on ap=p0) ln(p0) =k

En substituant la valeur de k, on obtient

ln(p) = ln(p0)MgRT z p= exp ln(p0)MgRT z =p0eMgRT z p(z) =p0eMgRT z L"hypothèseT=constante (15C) étant peu réaliste, la formule barométrique ne peut être utilisée que pour de petites valeurs dez. Pour mieux tenir compte des conditons actuelles et locales, dans le cas où on connaît la pression actuellep1en un lieu proche d"altitudez1, on utilise de préférence la formule p(z) =p1eMgRT (zz1) Pression atmosphérique en fonction de l"altitude 3

Valeurs numériques des constantes et unités

p=pression en pascals z=altitude en mètres p

0= 101325Pa

M= 28:966 103kg mol1

g= 9:805m s2

R= 8:314510J mol1K1où J = kg m2s2

T= (15 + 273:15)K

MgRT =0:000118544m p(z) = 101325Pae0:00012m z

1.3 Pression atmosphérique [en Pa] en fonction de l"altitude [en m]0200400600800

0101 32598 92296 57694 28692 050

1 00089 86787 73685 65583 62481 641

Pression atmosphérique en fonction de l"altitude 4

2. Modèle d"atmosphère standard avec gradient de tem-

pérature constant

Formule du nivellement barométrique

2.1 Hypothèse du gradient de température constant

La température diminue avec l"altitude. Malheureusement, le gradient de température varie selon les conditions climatiques et météorologiques. Dans ce modèle, on considère que la températureTdécroît linéairement avec l"altitudez

T(z) =T0az

et on choisit un gradient de température typique, par exemple a= 6:5 103K m1 On décrit ainsi un état moyen de l"atmosphère, sans tenir compte de son état réel.

2.2 Intégration de l"équation différentielle

En substituantTdans l"équation différentielle avec condition initiale dpdz =pMgRT p(0) =p0 on obtient dpdz =pMgR(T0az)

En séparant les variables

Z1p dp=MgR Z 1T 0azdz

Sous l"hypothèsep >0,

ln(p) =MgR 1a ln(T0az) +k=MgRa ln(T0az) +k où la constante d"intégrationkest déterminée par la condition initiale (pourz= 0, on a p=p0) ln(p0) =MgRa ln(T0) +k k= ln(p0)MgRa ln(T0) Pression atmosphérique en fonction de l"altitude 5

En substituant la valeur dek

ln(p) =MgRa ln(T0az) + ln(p0)MgRa ln(T0) =ln(p0) +MgRa (ln(T0az)ln(T0)) =ln(p0) +MgRa lnT0azT 0 =ln(p0) + lnT0azT 0 MgRa p(z) =p0T0azT 0 MgRa p(z) =p0 1aT 0z MgRa p(z) =p0 1aT 0z MgRa p(z) =p0 1aT 0z MgRa Cette dernière formule, appelée Formule du nivellement barométrique Formule du nivellement barométriqueFormule du nivellement barométrique, peut être uti- lisée, avec prudence, jusque vers environ 12 000 m d"altitude. Pour mieux tenir compte des conditions actuelles et locales, dans le cas où on connaît la pression actuellep1en un lieu proche d"altitudez1, on utilise de préférence la formule p(z) =p1 1aT

0(zz1)

MgRa p(z) =p1 1aT

0(zz1)

MgRa p(z) =p1 1aT

0(zz1)

MgRa

2.3 Valeurs numériques des constantes et unités

p=pression en pascals z=altitude en mètres p

0= 101325Pa

a= 6:5 103K/m T

0= (15 + 273:15)K

aT

0=0:0000225577m

M= 28:966 103kg mol1

g= 9:805m s2

R= 8:314510J mol1K1où J = kg m2s2

MgRa = 5:25516

Numériquement,

p(z) = 10132512:25577 105z5:255 p(z) =p1

10:0000225577zz1m

5:25516

2.4 Table numérique de la pression atmosphérique moyenne en

hPa, en fonction de l"altitude de -500 m à 11400 m Pression atmosphérique en fonction de l"altitude 6 Exemple de lecture de la table : Quelle est la pression atmosphérique moyenne à l"altitude de 1800 m? La décomposition 1800 = 1500 + 300 nous amène à l"intersection de la ligne

1500 m et de la colonne 300 m où on lit la pression de 814.92 hPa.0100200300400

-5001074.761062.231049.811037.501025.32

01013.251001.30989.46977.73966.12

500954.62943.23931.95920.78909.72

1000898.76887.92877.18866.54856.01

1500845.59835.26825.04814.92804.90

2000794.98785.16775.44765.82756.29

2500746.86737.53728.29719.14710.09

3000701.13692.26683.48674.79666.20

3500657.69649.27640.93632.69624.53

4000616.45608.46600.56592.73585.00

4500577.34569.76562.27554.85547.51

5000540.26533.08525.97518.95512.00

5500505.13498.33491.60484.95478.38

6000471.87465.44459.07452.78446.56

6500440.41434.33428.31422.36416.48

7000410.67404.92399.24393.62388.07

7500382.58377.15371.78366.48361.24

8000356.06350.94345.88340.88335.94

8500331.05326.23321.46316.74312.09

9000307.49302.94298.45294.01289.63

9500285.30281.02276.79272.62268.49

10000264.42260.40256.43252.50248.63

10500244.80241.02237.29233.61229.97

11000226.38222.83219.33215.87212.46

Pression atmosphérique en fonction de l"altitude 7

2.5 Altitude en fonction de la pression atmosphérique

Pour tenir compte des conditions actuelles et locales, supposons que l"on connaisse la pression atmosphériquep1en un lieu d"altitudez1: p=p1 1aT

0(zz1)

MgRa Exprimons la correction d"altitude(zz1)en fonction de la pression atmosphérique p : pp 1= 1aT

0(zz1)

MgRa pp 1 RaMg = 1aT

0(zz1)

aT

0(zz1) = 1pp

1 RaMg On obtient la correction d"altitude en fonction de la pression atmosphérique : zz1=T0a 1pp 1 RaMg L"argument de la fonction est p, la valeur est z. Les autres symboles représentent des constantes. Numériquement, zz1= 44330:8m 1pp 1

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Liens hypertextes

Formule du nivellement barométrique (sur Wikipedia) Tables numériques de l"atmosphère en fonction de l"altitude

Modèle du nivellement barométrique

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