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Pression atmosphérique en fonction de l"altitude
Marcel Délèze
1. Formule barométrique (atmosphère isotherme)
1.1 Poser l"équation différentiellezz+haltitudeNotonsla masse volumique moyenne de l"air entre les altitudes z et z+h. D"après la
loi de la croissance de la pression, la pression à l"altitude z est p(z) =p(z+h) + gh d"où p(z+h)p(z)h =gPassons à la limite h!0
dpdz =(z)g où(z) désignme la densité de l"atmosphère à l"altitude z. Calculonsen supposant qu"il s"agit dun gaz parfait et que l"atmosphère est isotherme pV=nRT =mV =pmn 1RT =pMRT où M=mn désigne la masse molaire de l"air. L"équation différentielle avec condition initiale de la fonction z7!p(z) s"écrit alors dpdz=pMgRT ; p(0) =p0 Pression atmosphérique en fonction de l"altitude 2 où MgRT =constante, etp0est donné1.2 Résoudre l"équation différentielle
L"équation différentielle est de la forme
p 0=ap où a=MgRT est constant. Il s"agit donc d"une équation différentielle du premier ordre linéaire ho- mogène à coefficient constant. On utilise la méthode de la séparation des variables. Sous l"hypothèsep >0, dpdz =MgRT p Z 1p dp=MgRT Z dz ln(p) =MgRT z+koù la constante d"intégration k est déterminée à partir de la condition initiale (pour
z= 0, on ap=p0) ln(p0) =k