Méthode : Déterminer la limite d'une fonction composée La fonction exponentielle étant strictement croissante, on a également, pour tout > †: JÂ
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Méthode : Déterminer la limite d'une fonction composée La fonction exponentielle étant strictement croissante, on a également, pour tout > †: JÂ
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la croissance des fonctions logarithmes, exponentielles et puissances au théor `emes sur la limite d'un produit et la limite d'une fonction composée, lim x→+∞
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Le chapitre sur la fonction exponentielle est quasiment indissociable du 1 + 0 = 1 puis, d'après le théorème de dérivation des fonctions composées, pour tout La limite de ex en −∞ se déduit de la limite de ex en +∞ de la façon suivante :
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eX = 0 (composée, exponentielle) Donc la recherche de la limite de f se présente sous la forme indéterminée : « ∞ × 0 » (avec la fonction f précédente)
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La fonction exponentielle a pour limite +∞ en +∞ : lim x→+∞ e Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I, alors la fonction composée f = eu est dérivable
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II 1 Limite aux bornes Définition 1 La fonction exponentielle, est la fonction définie sur R par exp(x) = ex, ex étant l'unique nombre réel positif dont le Ce point est une conséquence de la dérivation des fonctions composées : On dérive laÂ
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Il faut connaître les limites des fonctions de référence (fonctions carré, cube, racine Soit f la fonction définie sur un intervalle I comme composée des fonctions
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Le fonction exponentielle, notée exp, est la fonction 2) Limites en +õ et en -õ D'après le théorème de dérivation des fonctions composées, puisque f(x) = exÂ
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Cette fonction est appelée exponentielle et notée exp Démonstration plus Ï• est un produit de la forme u × v, où v est une fonction composée : Ï• (x) = f (x)f(−x ) + Pour la preuve des limites aux bornes, voir le paragraphe 5) Les preuvesÂ
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13 avr 2015 · Limite d'une suite géométrique 10 Composée d'une fonction de référence avec une fonction 16 III - La fonction exponentielle, croissance comparée
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LIMITES DES FONCTIONS - Chapitre 2/2
Tout le cours en vidéo : https://youtu.be/YPwJyYDsmxMPartie 1 : Limite d'une fonction composée
Méthode : Déterminer la limite d'une fonction composéeVidéo https://youtu.be/DNU1M3Ii76k
Soit la fonction í µ définie sur !
;+∞! par : í µ 2- 1 Calculer la limite de la fonction í µ en +∞.Correction
On a : lim
1 =0, donc lim 2- 1 =2 Donc, comme limite d'une fonction composée : lim 2- 1 2 En effet, si í µâ†’+∞, on a : í µ=2- 1 →2 et donc : lim 2.Partie 2 : Limites et comparaisons
1) Théorèmes de comparaison
Théorèmes : Soit í µ et í µ deux fonctions définies sur un intervalle í µ= - Si pour tout í µ de í µ, on a : 9 lim alors lim =+∞ (Fig.1) - Si pour tout í µ de í µ, on a 9 lim alors lim =-∞ (Fig.2) Remarque : On obtient des théorèmes analogues en -∞.Figure 1
Par abus de langage, on
pourrait dire que la fonction í µ pousse la fonction í µ vers +∞ pour des valeurs de í µ suffisamment grandes.Figure 2
2Démonstration dans le cas de la figure 1 :
lim =+∞ donc tout intervalle , í µ réel, contient toutes les valeurs de í µ(í µ) dès que í µ est suffisamment grand, soit : í µ Donc dès que í µ est suffisamment grand, on a : í µEt donc lim
2) Théorème d'encadrement
Théorème des gendarmes :
Soit í µ, í µ et â„Ž trois fonctions définies sur un intervalle í µ=Si pour tout í µ de í µ, on a : >
lim lim alors lim Remarque : On obtient un théorème analogue en -∞.Par abus de langage, on pourrait dire que les fonctions í µ et â„Ž (les gendarmes) se resserrent
autour de la fonction í µ pour des valeurs de í µ suffisamment grandes pour la faire tendre vers
la même limite. Ce théorème est également appelé le théorème du sandwich. Méthode : Utiliser les théorèmes de comparaison et d'encadrement