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TD2 : Calcul formel en Maple : manipulation

d"expressions

Lyc´ee Lakanal, Sup PCSI B

1 Simplifications d"expressions

Les principales fonctions permettant de r´e´ecrire des expressions sontcollect, combine, convert, expand, fac- toretsimplify.

1.1 Collect(expr, v, forme, fonction)

Cette commande ordonne l"expressionexprcomme

un polynˆome envqui est une variable ou une liste de variables. Les autres param`etres sont optionnels. Ta- pez: e1:=(x+y+z)*(x-y)*(z-x+y); collect(e1,x); collect(e1,y); collect(e1,[x,y]); help(collect);

1.2 Combine(expr, noms)

Cette commande transforme l"expression ou la liste d"expressions en un seul terme (voir l"aide pour les d´e- tails). Tapez: combine( sqrt(x+y)*sqrt(x-y) ); e1:=2*(cos(x/2))^2-1: combine(e1,trig); combine(e2,power); combine(e2,ln); assume(x>0):assume(y>0): combine(e2,ln);

Quel est le rˆole de la fonctionassume?

Tapez help(assume); et testez d"autres exemples.

1.3 Convert(expr,forme)

Cette commande tranforme l"expressionexprselon

le mod`eleforme. Tapez: convert(cos(x),tan);1.4 Expand(expr, expr1,...,exprn) La commandeexpandd´eveloppe une expression. Les param`etres optionnels servent `a pr´eserver certaines ex- pressions du d´eveloppement. Tapez: e1 := (x+y+z)^2-(x+y)^2 ; expand(e1); e2 := (x-y)*sin(x+y)-(x-y)^2+(x-2*y)^2 ; expand(e2); expand(e2, sin(x+y)); expand(e2, sin(x+y), x-y);

1.5 Factor(expr,K)

Cette commande factorise l"expression. Attentionfac- torn"est pas tout `a fait la r´eciproque deexpand. Le param`etreKindique le corps dans lequel on factorise (real, complex). Tapez: factor( 1/(sqrt(3)-sqrt(2)) ); factor( a^3+b^3 ); expand( (x^2-1)*(x+3) ); factor("); factor(x^4+1); factor(x^4+1,complex); factor(x^4+1,real); factor(x^4+1,sqrt(2));

1.6 Normal(expr)

Cette commande met l"expression sous forme cano-

nique, en effectuant des simplifications et factorisations simples. Tapez: e1 := (x+(x-1)^2+x^2-1)/((x^2+2*x-3)*(x+2)) ; normal(e1); factor(e1); e1:=1/x+1/x^2+1/(x+1); normal(e1); 1

1.7 Simplify(expr,noms,{pte})

La fontionsimplifysimplifie l"expressionexpr, selon la propri´et´eptesi cette commande optionnelle est ra- jout´ee. simplify((cos(x))^2+(sin(x))^2); simplify(a^3,{a^2=1}); simplify((x^a)^b+4^(1/2), power); Cette commande de simplification est la plus puis- sante, mais aussi la plus difficile `a manipuler. Tapez?sim- plifypour vous rendre compte de la port´ee de cette commande, et testez d"autres exemples. Elle est plus g´en´erale que les commandes pr´ec´edentes, mais utilise des algorithmes tr`es coˆuteux. Les commandescombine, convertsont plus sp´ecifiques: elles n"effectuent que cer- taines simplifications bien pr´ecises(se reporter `a l"aide).

2 Exercices

Exercice 1:Factoriser le polynˆome:

P(x) = 49x5+ 294x4-56x3-336x2+ 16x+ 96

et factoriser l"expression: x

6-sin3y

Exercice 2:V´erifier que:

P(t) = cos(narccost)

est un polynˆome entde degr´en. Il est appel´epolynˆome de Tchebychevd"ordren. Quelle est la valeur prise ent= 2 par le polynˆome de Tchebychev d"ordre 5? (utiliser la fontionsubs).

Exercice 3:V´erifier la formule suivante:

n i=1cosiθ=-cos(nθ) + cos((n+ 1)θ) + 1-cos(θ)

2cos(θ)-2

Exercice 4:Montrer que les deux fonctionsfetg

suivantes sont ´egales. f(x) =4tan(1+x2 2) x(1 + tan2(1+x22))+ 4xlnxg(x) =8xlnxtan2(1+x2 2)

1 + tan2(1+x22)+4xlnxcos(x2+1)+2sin(x2+ 1)x

Exercice 5:Simplifier les expressions suivantes:

A= cos2(a)cos2(b)-2cos(a)cos(b)sin(a)sin(b) + sin2(a)sin2(b)

B=⎷

5 +⎷3⎷5-⎷3+⎷

5-⎷3⎷5 +⎷3

Exercice 6:Montrer que cos3(x)+sin3(x) peut s"´ecrire sous la forme: (cos(x) + sin(x))(1-1

2sin(2x))

Exercice 7:Comment d´eclare-t-onune fonction? Quel est le rˆole de la fonction mapleunapply? Chercher des exemples dans l"aide. ?Exercice 8:Consid´erons le mouvement d"un planeur dans l"atmosph`ere. Il est soumis `a la force de gravit´e -m?g, et `a une force de frottement, de modulekρv2, oppos´ee `a la vitesse. On notehl"altitude du planeur, vsa vitesse, etγson angle de vol, c"est-`a-dire l"angle entre le planeur et un plan horizontal. La variableρest la densit´e atmosph´erique, et son mod`ele est:ρ(h) =

0exp(-h). Les ´equations du mouvement sont:

h=vsinγ v=-gsinγ-kρv2

γ= cosγ(-g

v+vr0+h)

1. SoitE=1

2mv2+mghl"´energie totale du planeur.

Montrer que:E=-kmρv3

En d´eduire que le syst`eme est conservatif si et seule- ment si la r´esistance `a l"air est nulle.

2. On se donne un moyen d"action sur les ailes du pla-

neur, ce qui transforme l"´equation deγde la mani`ere suivante:

γ= cosγ(-g

v+vr0+h) +u On poseF(t) = sinγ(t). D´eterminerude mani`ere `a ce queF= 0 (vol ´equilibr´e). 2quotesdbs_dbs45.pdfusesText_45