[PDF] [PDF] CORRIGÉ DU DEVOIR LIBRE N˚02 - MPSI Saint-Brieuc - Free

26 sept 2012 · calculer une somme de fonctions trigo, on k=0 [cos(kx) + isin(kx)] = n ∑ Soit θ ∈ R On résout dans C l'équation z2 − 2 cos(θ)z + 1 = 0 Si



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26 sept 2012 · calculer une somme de fonctions trigo, on k=0 [cos(kx) + isin(kx)] = n ∑ Soit θ ∈ R On résout dans C l'équation z2 − 2 cos(θ)z + 1 = 0 Si



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k=0 cos(kx) En utilisant une formule classique sinacosb = 1 2 (sin(a + b) + sin(a − b)) = 1 2 (sin(b + a) − sin(b − a)) Avec kx et x 2 `a la place de b et de a 



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(on rappelle que ez est défini pour tout nombre complexe z comme la somme ∑ ∞ n=0 zn n ) On a notamment eix = cos(x) + i sin(x) On définit le nombre π/2 



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Déterminer pour tout neN*, une expression de cos"x et de sin"x en fonction des ( cos(kx)), des (sin(kx)) cosx = cos(nx) Soit n un K=0 Ek=0 Utiliser la formule de Moivre puis les résultats sur la somme des termes d'une suite géométrique



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cos θ + i sin θ Si on note M(cos θ; sin θ) un tel point, on a pour θ = π[2π] : Appliquons le changement de variable k = n − k dans la deuxième somme (ϕ : k  



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Indications et solutions du TD 6 Mathématiques PTSI Exercice 8 : 1 Si x = 0 [2π] , cos(kx)=1 et sin(kx)=0 2 On calcule Un = n ∑ k=0 eikx en utilisant la somme



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3)/2 , (2z + 1 z − 1 )4 = 1 Exercice 18 Soit θ un réel 1 Calculer la somme n ∑ k=0 eikθ En déduire les valeurs de n ∑ k=0 cos(kθ) et n ∑ k=0 sin(kθ) 23 



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décomposition d'une fonction périodique en “somme infinie” de fonctions simples , Les fonctions sin et cos sont développables en séries trigonométriques 



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t ↦→ cos(at) et t ↦→ sin(at) Pour ce ramener à une écriture sous forme de somme de fonctions circulaires, on va utiliser les formules d'Euler Pour tout réel θ, 



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x ∈ R, et on cherche à calculer la somme de cette série 3 (a) Vérifier (b) Montrer la formule : ∫ π x h(t) sin(n + 1 2 )tdt = 2 2n + 1 ( cos(n + 1 2 )x sin(x 2 )

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CORRIG´EDUDEVOIRLIBREN°02

EXERCICE1

1.Soitn?N,x?R.Onsupposequexn"estpascongru`a 0modulo

2π.On noteC=?

=0cos(kx),etS=? =0sin(kx).Calculonsplutˆot C +iS. calculerunesomme defonctionstrigo,on passe encomplexes! commepar hypoth`esen"est pascongru`az´ero modulo2,ix=1, onpeutdoncappliquer l"identit´eg´eom´etriqueC +iS=? =0? cos(kx)+isin(kx)?=? =0? cos(x)+isin(x)? =0? e?=e(+1)-1 e-1 nairedel"anglemoiti´e, ilvient C +iS=sin?+1 2x? sin?2? e(2) Finalement,enidentifiantpartiesr´eelle etimaginairedel"´egalit´e ci- dessus,onobtient •C=sin?+1

2x?cos?2x?

sin?2? •S=sin?+1

2x?sin?2x?

sin?2?

2.Soitn?Netx?R.On noteU=?

=0? n k? cos(kx),etV= =0? n k? sin(kx).CalculonsU+iV.LesformulesdeMoivre etde 1

Newtondonnent:

U +iV=? =0? n k? ?cos(kx)+isin(kx)? =0? n k? ?cos(x)+isin(x)? =0? n k? ?e?=(1+e) Lafactorisation parl"exponentielleimaginairedel"anglemoiti´e, donne ??est-ilvraimentbe- soinderappelercette formule??1+e=2cos?x 2)e2.

Parcons´equent,

U +iV=?2cos?x

2)e2?=2cos?x2?e2

Finalement,onconclutenidentifiantpartiesr´eelle etimaginairedes deuxmembresdel"´egalit´e ci-dessusque •U=2cos?

2?cos?2?

•V=2cos?

2?sin?2?

EXERCICE2

on nevoitpasdirectementqueesont racines´evidentes,oncal-

2.Soitn?Nunentiernaturelnon nuleta?Runr´eel.Pour r´esoudre

dansCl"´equation z

2-2zcos(na)+1=0(1)

le changementd"inconnuew=zs"impose!Compte-tenu delapremi`ere (1)???w=z w=e??z=eouz=e 2 Les solutionsde(1)sontdonclesracinesni`emesdeeetcellesde e S=? e ,e+2π n,···,e+2(n-1)πn? e ,e+2πn,···,e+2(n-1)πn? 3quotesdbs_dbs45.pdfusesText_45