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Décombre d"une première S - Cosinus et sinus d"une somme et d"une différence...et conséquences -

Un doc de Jérôme ONILLON

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Cosinus et sinus d"une somme

Dans tout ce qui suit, α et β sont deux réels quelconques. Dans ce premier paragraphe, nous allons chercher à exprimer les cosinus et sinus de la somme en fonction de ceux de α et β. Pour y parvenir, transportons-nous dans le plan que nous supposons muni d"un repère orthonormé direct O; , i j? ? , et plus précisément plaçons-nous sur le cercle trigonométrique. Sur ce dernier, nous définissons les points suivants :

A est le point du cercle

trigonométrique associé au réel

Donc une mesure de l"angle orienté

,OAi????? est

B est l"image du point A par la

rotation de centre O et d"angle

Donc une mesure de l"angle orienté

,OB ,OA OA,OB = +i i est

C est l"image du point A par la

rotation de centre O et d"angle

2π.

Donc une mesure de l"angle orienté

OA,OC???? ????

est

2π.

Et une mesure de l"angle orienté

,OC ,OA OA,OC = +i i est 2π Plaçons-nous dans le repère orthonormé direct O; , i j? ? . Dans celui-ci : Le point A étant associé au réel α sur le cercle trigonométrique, il a pour coordonnées cos ;sin . Donc

OA cos sin

i j ? B qui est associé au réel , a pour coordonnées cos ;sin Donc

OB cos sin

i j ? C associé au réel 2π , a pour coordonnées cos ;sin 2 2 Donc

OC cos sin sin cos2 2π π

i j i j Changeons de repère ! Plaçons-nous dans le repère orthonormé direct

O;OA,OC

Dans le repère polaire associé

O;OA , le point B a pour coordonnées polaires

1;β

En effet, le vecteur

OB????

a pour norme 1 et une mesure de l"angle orienté

OA,OB???? ????

est β.

Il vient alors :

Or OA et OC ont été exprimés en fonction de et OA

OB 1 cos OA sin OC cos OA sin OC

cos cos sin sin sin? ? i j i j OC cos cos .cos cos .sin sin . sin sin .cos cos .cos sin .sin cos .sin sin .cos? ?

= β α × β α × + β - α × + β α ×? ? ? ?β α - α β × + α β + α β ×? ? ? ?i j

i + j i j = i j

Donc, dans le repère

O; , i j? ? , les coordonnées du point

B cos ;sin

s"écrivent aussi : cos sincos .cos sin .sin ;cos .sin sin .cos Nous venons d"obtenir les formules que nous recherchions !

Théorème : cosinus et sinus d"une somme (formules d"addition) Pour tous réels α et β, nous avons :

cos cos .cos sin .sin sin sin .cos cos .sin A partir de ces deux formules, nous pouvons trouver celles donnant les cosinus et sinus d"une différence. Car soustraire, c"est ajouter l"opposé ! Ainsi : Car cosinus est paire et sinus impaire... cos cos cos .cos sin .sin cos .cos sin . sin cos .cos sin .sinα-β = α+ -β = α -β - α -β Car cosinus est paire et sinus impaire... sin sin sin .cos cos .sin sin .cos cos . sin sin .cos cos .sinα-β = α+ -β = α -β + α -β O A B C i? j? cos sin cos sin

Décombre d"une première S - Cosinus et sinus d"une somme et d"une différence...et conséquences -

Un doc de Jérôme ONILLON

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Théorème : cosinus et sinus d"une différence Pour tous réels α et β, nous avons : cos cos .cos sin .sin sin sin .cos cos .sin En s"appuyant sur ces formules et les valeurs remarquables des fonctions trigonométriques, nous pouvons calculer les valeurs des cosinus et sinus de

12 3 4π π π

cos cos cos .cos sin .sin

12 3 4 3 4 3 3

1 2 3 2 2 6

2 2 2 2 4

sin sin sin .cos sin .cos

12 3 4 3 4 3 3

3 2 1 2 6 2

2 2 2 2 4

Formules de duplication des cosinus et sinus

On appelle ainsi les formules des cosinus et sinus du double. Pour tout réel α, nous avons : 2 2 cos 2. cos cos .cos sin .sin cos sin

De plus, comme

2 2 cos sin 1? ? ? ? ? ? ? ?, alors il vient : 2 2 2

2 2 2cos 2. 1 sin sin 1 2 sin

cos 2. cos 1 cos 2 cos 1?( ) sin 2. sin sin .cos cos .sin 2.sin .cos Théorèmes : formules de duplication des sinus et cosinus Pour tout réel α, nous avons :

2 2 2 2

cos 2. cos sin 2 cos 1 1 2 sin sin 2. 2.sin .cos Des deux dernières formules de duplication du cosinus, on déduit :

Théorème : deux formules pour déterminer les cosinus et sinus de la moitié Pour tout réel α, nous avons :

2

1 cos 2.

cos 2 2

1 cos 2.

sin 2 Avec ces deux formules, nous pouvons déterminer les cosinus et sinus de 8π 2

2 2 21 cos 2 1 cos1

2 2

8 42 2cos

8 2 2 2 2 4

2

2 2 21 cos 2 1 cos1

2 2

8 42 2sin

8 2 2 2 2 4

Comme

8π appartient à l"intervalle

0;2π

, alors ses cosinus et sinus sont positifs. Ainsi : 2 2 cos8 4π + 2 2 sin

8 4π -( )=( )( )

Tangentes d"une somme, d"une différence et d"un double Pour tous réels α et β non congrus à

2π modulo π (ainsi que leur somme), nous avons:

sin sin .cos cos .sin cos cos .cos sin .sin sin .cos cos .sin sin sin cos .cos cos .cos cos cos cos .cos sin .sin sin sin(b)1cos .cos cos tan tan tan 1 ta .cos cos n t cos an

On en déduit alors :

Car tangente est une fonction impaire

tan tantan1 tan tan tan tantan1 tan tanα + -β= α+ -β = =- α × -β ( )2 tan tantan1 tan tan

2 tantan 2.1 tan

On divise

numérateur et dénominateur par cos(a).cos(b)quotesdbs_dbs16.pdfusesText_22