Exemple 2 Soit m ∈ [[1, n]], écrire en utilisant le symbole ∏, le produit am × × an • • • Dans les expressions (1) et (2), la lettre k, appelée indice,
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DERNIÈRE IMPRESSION LE 27 février 2017 à 15:46 Les symboles somme et produit Table des matières 1 Le symbole somme r 2 1 1 Définition
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P2:doc 9Des sommes, des produits2015-2016
I Les symboles?et?
I.1 Mise en place d"une notation
Une sommefiniede nombre réels ou complexes notéesa1,a2,...,ans"écrita1+a2+...+an. Une notation plus
compacte, utilisée dans l"enseignement supérieur est (1) k=n? k=1a kou de manière simplifiéen? k=1a k Exemple 1Soitm?[[1,n]], écrire en utilisant le symbole? , la sommeam+...+an.Un produitfiniede nombre réels ou complexes notéesa1,a2,...,ans"écrita1×a2×...×an. Une notation plus
compacte est (1) k=n? k=1a kou de manière simplifiéen? k=1a k Exemple 2Soitm?[[1,n]], écrire en utilisant le symbole? , le produitam×...×an.Dans les expressions (1) et (2), la lettrek, appeléeindice, est une variablemuette, ce qui signifie que l"on peut
changer son nom sans changer la somme : n k=1a k=n? i=1a i(comportement identique dans les produits)I.2 Propriétés
Propriété de linéarité de la somme:Si (aj)1?j?net (bj)1?j?nsont deux suites finies de nombres réels ou
complexes, siλest un réel ou un complexe, alors : n j=1(aj+bj) =n? j=1a j+n? j=1b jetn? j=1(λaj) =λn? j=1a jRègles de calculs pour les produits: Si (aj)1?j?net (bj)1?j?nsont deux suites finies de nombres réels ou
complexes, siλest un réel ou un complexe, alors : n j=1(ajbj) =n? j=1a j×n? j=1b jetn? j=1(λaj) =λnn? j=1a jI.3 Des exemples incontournables
Somme d"entiers consécutifs, de carrés d"entiers consécutifs, de cubes d"entiers consécutifs
Écriture avec " points de suspension »
1 + 2 +...+n=......
12+ 22+...+n2=......
13+ 23+...+n3=......
Écriture avec?
EXERCICE 1Soitaetb, deux nombres réels ou complexes. Calculern-1? k=0(ak+b).My Maths Space1 sur 6
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Somme d"une progression géométriqueLa formule donnant la somme d"une progression géométrique s"écrit
?a?C,a?= 1,n?N,1 +a+a2+...+an=n? k=0a k=an+1-1 a-1 Nombres harmoniquesPourn?N?, on définit le n-èmenombre harmoniqueHnparHn=n? s=11 sLes nombresHninterviennent fréquemment en mathématiques. On ne disposepas de formule simple " non
sommatoire » pourHnmais l"on peut obtenir une estimation deHnen utilisant les intégrales (leçon à venir en
obligatoire), on obtient lnn?Hn?1 + lnn→Conséquence pour la suite (Hn)n?1:Si l"on notePune loi de probabilité sur un univers Ω etXune variable aléatoire définie sur Ω telle que
X(Ω) ={x1,x2,...,xn}(valeurs prises par la variable). L"espérance de la variableX, notéeE(X), est égale à ......Écrire son expression en utilisant le symbole
I.4 Des exercices d"application
EXERCICE 2Soitrun nombre réel appartenant à ]-1,1[. Pourn?N, on poseSn=n? j=0r j. Déterminer la limite deSnlorsquentend vers +∞. Proposer une notation pour cette limite.EXERCICE 3On pose, pourn?N?,
u n=2n? k=n1 k Simplifierun+1-unet en déduire la monotonie de (un)n?1. EXERCICE 41. Trouver une relation de récurrence entreHnetHn-1pour toutn?1.2. Montrer que pour tout entiern?2,
n-1?k=1H k=nHn-nEXERCICE 5En utilisant la formule de la progression géométrique et la dérivation, calculer, pour toutxréel etn
dansN?, S n(x) =n? k=0kx kOn distinguera le casx= 1. Pour-1< x <1, déterminer la limite de la somme précédente lorsquentend vers +∞.
EXERCICE 6On lance un dé équilibré. On répètenfois l"opération, les lancers successifs étant supposés indé-
pendants. SoitXla variable aléatoire donnant le premier instant d"apparition d"un 6, en convenant queX= 0 si 6
n"apparaît pas. Déterminer l"espérance deX. Quelle est sa limite lorsquentend vers +∞?My Maths Space2 sur 6
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I.5 Sommes télescopiques
D"ordinaire le calcul d"une somme est une tâche complexe. Dans certaines situations, cela est plus aisé, d"où l"intérêt
de ne pas s"en priver lorsque c"est possible : Soient (an)n?Net (bn)n?Ndeux suites complexes qui ont la particularité d"ête liées par ?n?N, an=bn+1-bnOn a alors
n? k=0a k=bn+1-b0 démonstration:I.5.1 Des exemples classiques
On a pour toutk?N,(k+ 1)2-k2=.........,
Calculer
n?k=02k+ 1, en déduiren? k=02k, puis retrouvern? k=0k Pour toutx /? {0;1}, déterminer les réelsaetbtels que 1 x(x+ 1)=ax+bx+ 1En déduire que pour tout entiern?1,n?k=11
k(k+ 1)= 1-1n+ 1 Calculer la limite, lorsquentens vers +∞, den? k=11 k(k+ 1). Comment peut-on écrire cette limite?Application :Obtenir une majoration den?
k=11k2Point de départ : Pour toutk?2,1
k2?.........My Maths Space3 sur 6
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I.5.2 Des exercices d"application
EXERCICE 7:
Pourn?N?, simplifier
n k=1ln? 1 +1 k? Quelle est la limite de cette expression lorsquentend vers +∞?EXERCICE 8:
Déterminer trois réelsa,betctels que
?x /? {0;-1;-2},1 x(x+ 1)(x+ 2)=ax+bx+ 1+cx+ 2En déduire une expression simple de
S n=n? k=11 k(k+ 1)(k+ 2) Quelle est la limite de (Sn)n?1lorsquentend vers +∞?EXERCICE 9:
Déterminer trois réelsa,betctels que, siPest le polynôme de degré 3 défini parP(x) =ax3+bx2+cx, on ait
?x?R, P(x)-P(x-1) =x2En déduire une expression simple de
n k=1k 2 EXERCICE 10: Encadrement du n-èmenombre harmoniqueHn 11 2 3 4 5 6 7 8 9 10
O?? n 1 ?i ?j kk+ 1Cf.invSoitk?N?.
Le point de départ est l"encadrement de la portion d"aire située au-dessus de l"axe des abscisses, sous la courbe de la fonction inverse et entre les droites d"équationsx=ketx=k+ 1.My Maths Space4 sur 6
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II Les coefficients binomiaux
II.1 Problématique
Soitnun entier supérieur ou égal à 1.
néléments dans un ensemble finiE.Soitkun entier compris entre 1 etn.
Je forme une partie dekéléments distincts non ordonnés.Combien de parties puis-je former?
II.2 Deux cas particuliers
Combien de parties ànéléments peut-on former dans un ensembleEànéléments? (k=n)Combien de parties à 1 seul élément peut-on former dans un ensembleEànéléments? (k= 1)
Notations :
II.3 Une formule intéressante
Je suppose que je connais le nombre de parties àkéléments dans un ensemble ànéléments.
Combien de parties àn-kéléments peut-on former? (k= 1)II.4 Une définition et des formules
Définition : Une partie àkéléments distincts non ordonnés dans un ensemble ànéléments s"appelle une
combinaison. (1?k?n) Le nombre de combinaisons dekéléments dans un ensemble ànéléments se note?n k?et se lit "kparmin». On a établi et on admet les formules suivantes :?n
k? =n! k!(n-k)!sik?[[0,n]], et 0 dans les autres cas.Formule de symétrie : pourn?Netk?N, on a?n
k? =?n n-k?Formule de Pascal : Pourn?N?etk?N, on a?n
k? =?n-1 k? +?n-1 k-1?La formule du triangle de Pascal permet de calculer de procheen proche les coefficicnets binomiaux en les disposant
en pyramide : c"est letriangle de Pascal. 1 1 1 1 2 1