[PDF] [PDF] loi normale

[PDF] Loi normale et approximations - Exo7 - Exercices de mathématiques

Exercices : Martine Quinio Exo7 Loi normale et approximations Exercice 1 Une usine fabrique des billes de diamètre 8mm Les erreurs d'usinage provoquent 

[PDF] Exercices dapplication sur la loi normale Exercice 1 - IREM dAix

La loi normale N(58,6²) où la moyenne m = 58 kg et l'écart type σ = 6 kg 4) On choisit au hasard un garçon de 16 ans a Calculer la probabilité qu'il pèse moins  

[PDF] Loi normale centrée réduite : Exercices Corrigés en vidéo avec le

Vérifier la cohérence de ce résultat `a l'aide d'une calculatrice Utiliser les propriétés de la courbe en cloche Z est une variable aléatoire qui suit la loi normale 

[PDF] Exercices divers sur la loi normale - Madame Maths

Exercices-loi-normale pdf page 1 Exercices divers sur la loi normale Question 1 On mesure la taille en cm de 2500 hommes; la distribution obtenue suit une loi 

[PDF] TD 4 La loi normale

Exercice 1 Montrer que si X est une variable aléatoire de loi normale N(µ, σ), alors la variable aléatoire Z = 1 σ(X − µ) suit une loi normale centrée réduite N(0, 1) 

[PDF] 2 Semestre Bruno Hérault Travail Dirigé n°5 Loi Normale - Corrigés

Exercice 3 °/ Probabilité de divers intervalles de valeurs de la glycémie Notons X la glycémie mesurée sur un individu de la population X suit une loi normale 

[PDF] Exercices de Probabilités

3 1 Loi de Bernoulli, loi binomiale Exercice 11 (Dans un jeu télé) Un candidat se trouve Rappeler les divers modes de convergence et les différents

[PDF] loi normale

3 changement de variables et loi normale centrée réduite 10 3 4 correction exercices 4 approximation d'une loi binomiale par une loi normale 21

[PDF] Lien - CERMICS

Calculer les fonctions génératrices des lois usuelles : Bernoulli, binomiale, géomé- trique et Poisson En déduire leur moyenne et leur variance △ Exercice II 2 

[PDF] TD n° 1 STATISTIQUE DESCRIPTIVE 7 13 8 10 9 12 10 8 9 10 6 14

Supposons que les probabilités de divers éléments se présentent selon le tableau ci- dessous, les Exercices d'application directe du cours a) En Ile En supposant que le rayon R d'un cercle soit une variable de loi uniforme sur l' intervalle 

pdf Exercices divers sur la loi normale - wifeocom

Exercices divers sur la loi normale Exercices-loi-normale pdf page 1 Exercices divers sur la loi normale Question 1 On mesure la taille en cm de 2500 hommes ; la distribution obtenue suit une loi normale de moyenne égale à 169 cm et d’écart-type égal a 56 cm

Searches related to exercices divers sur la loi normale

On note Z~N(µ =0 ? =1) et F la fonction de répartition de la loi N(01) 1) P(Z ?107)=F(107)=08577 · 8577 des valeurs de Z sont inférieures à 107 2) P(Z >107)=1?P(Z ?107)=1?F(107)=1?08577=01423 · 1423 des valeurs de Z sont supérieures à 107

[PDF] Exercices dosages

[PDF] exercices du chapitre 1 cours 4 - Anciens Et Réunions

[PDF] Exercices du livre

[PDF] EXERCICES DU LIVRE SUR LES SATELLITES. Ch6. Exercice p

[PDF] Exercices d`abdominaux - Ski club Saint Gervais

[PDF] Exercices d`Analyse Complexe - MaPC41 - Anciens Et Réunions

[PDF] Exercices d`Analyse Fonctionnelle

[PDF] Exercices d`analyse technologique

[PDF] Exercices d`analyse technologique et de schématisation

[PDF] EXERCICES D`APLLICATION THEOREME DE PYTHAGORE

[PDF] Exercices d`application - Fabrication

[PDF] EXERCICES D`APPLICATION A. Complétez avec POR

[PDF] EXERCICES D`APPLICATION A. Formez des diminutifs

[PDF] Exercices d`application de l`algèbre de Boole

[PDF] Exercices d`application du cours d`hydraulique en charge

loi normale

Table des matières

1 loi normale

2

1.1 activité 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 2

1.2 activité 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 4

1.3 activité 3 : Utilisation de la Symétrie de la courbe de la loi normale et propriété des 3 écart-types 5

1.4 à retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 6

1.5 exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 6

2 loi normale centrée réduite

7

2.1 activité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 7

2.2 à retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 10

2.3 exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 10

3 changement de variables et loi normale centrée réduite

10

3.1 activité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 10

3.2 à retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 12

3.3 exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 13

3.4 correction exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 14

4 approximation d"une loi binomiale par une loi normale

21

4.1 activité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 21

4.2 à retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 22

4.3 exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 23

4.4 corrigés exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 24

5 somme de lois normales indépendantes

26

5.1 activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 26

5.2 à retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 27

5.3 exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 28

5.4 corrigés exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 29

6 évaluations35

6.1 évaluation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 35

6.2 devoir maison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 36

6.3 corrigé devoir maison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 37

7 résumé de cours

39

7.1 loi normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 40

7.2 approximation d"une loi binomiale par une loi normale . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

7.3 somme de deux lois normales indépendantes . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

8 tp42

8.1 TP : Loi normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 43

8.2 TP : Loi normale et loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 45

8.3 TP : Loi normale et loi binomiale version 2 . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

1

1 loi normale

1.1 activité 1

la répartition des notes à un examen est approximée par la courbe en cloche caractéristique d"une loi normale

ci dessous. On a déterminé qu"une loi normale de moyennem= 10et d"écart typeσ= 3convenait.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

note

On dit que la note l"examen est relativement bien approchée par une variable aléatoireXoùXsuit une loi

normaleN(10 ; 3). les valeurs possibles pourXsont dans l"intervalle]- ∞; +∞[

la probabilité queXsoit compris entre10et11est égale l"aire sous la courbe entre 10 et 11 soit?0,13

Principe de base:

Quels que soient les nombresaetb, aveca < b, la probabilité queXsoit compris entreaetbest donnée

Remarques:

•l"aire totale sous la courbe vaut 1

•la courbe admet la droite d"équationx= 10pour axe de symétrie

Questions :

Déterminer graphiquement et avec un logiciel, les valeurs des probabilités suivantes à 1% près.

1.p(X <10) =...

2.p(X >10) =...

4.p(X≥13)?...

8.p(X≥19)?...

15. la note est d"au moins 12 :

16. la note est de moins de 12 :

...17. la note est de plus de 8 :

18. la note est d"au plus 8 :

Réponses :

on estime graphiquement, grâce au principe de base et la remarque les valeurs des probabilités suivantes

et vérifier avec un logiciel ou une calculatrice ???0,26(symétrie) ???0,64 ???0,95(complément et symétrie) ???0,5(symétrie) ???0,63 ???0,37(complément)

7.p(X≥17)??

???0,01 ???0,99(complément) ???0,5(symétrie)

1.2 activité 2

une usine fabrique des rondelles, une rondelle est conforme si son diamètre appartient l"intervalle[ 89,4 ; 90,6 ]

1. On suppose que le diamètreX1d"une rondelle suit une loiN(90;0,5)

Quelle est la probabilité qu"une rondelle soit conforme à 1%près?

2. On suppose que le diamètreDd"une rondelle suit une loiN(90;σ1)

Quelle est la valeur deσ1pour que probabilité qu"une rondelle soit conforme soit d"environs 68 %?

3. On suppose que le diamètreDd"une rondelle suit une loiN(90;σ2)

Quelle est la valeur deσ2pour que probabilité qu"une rondelle soit conforme soit d"environs 95 %?

4. On suppose que le diamètreDd"une rondelle suit une loiN(90;σ3)

Quelle est la valeur deσ3pour que probabilité qu"une rondelle soit conforme soit de 99 %?

1.3 activité 3 : Utilisation de la Symétrie de la courbe de la loi normale et propriété des 3

écart-types

1. Il faut savoir que :

si une variable aléatoireXsuit une loi normale de moyennemet d"écart typeσ(σ >0) (a) Les valeurs deXsont toutes les valeurs de l"intervalle... (b) La courbe de la fonction de densité de probabilité a pour équationf:x?-→1

σ⎷2πe-12(x-mσ)2

Cette courbe admet pour axe de symétrie la droite d"équationx=m m x 68%

2σ-2σ

95%

3σ-3σ

99%
(d)p(X≥m) =...

2. On peut aussi en déduire que :

(b)p(X≥m+σ)?... (f)p(X≥m+ 2σ)?... (j)p(X≥m+ 3σ)?... (l)p(X≥m-3σ)?...

3. On sait que la variable aléatoireXsuit une loi normale de moyennem= 10etσ= 3

Déterminer sans calculatrice ni logiciel les probabilitéssuivantes ou déterminer les valeurs cherchées

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

note (h)p(X≥7)?... (i)p(X≥19)?... (n)p(X≥..) = 50% (p)p(X≥1)?... (q)p(X≥13)?...

4. On sait queXsuit une loi normale de moyennem= 100et d"écart typeσinconnu.

5. On sait queXsuit une loi normale de moyennem= 200et d"écart typeσinconnu.

6. On sait queXsuit une loi normale de moyennem= 300et d"écart typeσinconnu.

Sachant quep(X≥321)?0,5%, déterminerσ.

7. On sait queXsuit une loi normale de moyenneminconnue et d"écart typeσ= 5

1.4 à retenir

définition 1

A une????loi normaleN(m;σ)de????moyennemet????d"écart typeσcorrespond une unique courbe en cloche

mx représentative de la fonctionf:x?-→1σ⎷2πe-12(x-mσ)2 oùx?R,m?Retσ >0 Cette courbe admet pour axe de symétrie la droite d"équationx=m, elle admet un maximum enx=m définition 2:

La variable aléatoireXsuit une loi normale de moyennemet d"écart typeσ( on note :X≂N(m;σ))

signifie que :

L"ensemble des valeurs possibles deXest l"ensemble de tous les nombres réels :X?]- ∞; +∞[

est égale à "l"aire sous la courbe" en clocheN(m;σ)entreaetb X X et aussi?

Remarques :(admises)

(a) Quels que soientm?Retσ >0, l"aire "totale" sous la courbe vaut 1. (pourxallant de-∞à+∞) X

Aire= 1

la probabilité d"une "valeur isolée" est nulle b a f(x)dx(en terme d"intégrale)

1.5 exercices

(voir activité)

2 loi normale centrée réduite

2.1 activité

A. utilisation de la table de la loi normale centrée réduiteN(0 ;1)oùm= 0etσ= 1 une table de la loiN(0;1)est donnée FIG.1 ci après(précision de10-4)

1. cas de la forme

(indice : l"aire totale sous la courbe vaut 1 ) c. exprimerp(X≥t)en fonction deΠ(t)pourt?R d. déterminerp(X≥1,05)

2. cas de la forme

(indice : penser aux aires )

3. cas de la forme

d. déterminerp(X≥ -0,5)

4. lecture inverse

B. exemple d"application

1. la températureTdans une chambre froide suit une loiN(0 ;1)oùTest en degrés Celsius

a. déterminer la probabilité que la température soit comprise entre-1,5et1,5degrés corrigé activité A. utilisation de la table de la loi normale centrée réduiteN(0 ;1)oùm= 0etσ= 1 ???0,9332 p(X≥1,5) = 1-p(X <1,5) = 1-Π(1,5)?1-0,933?? ???0,0668 ???0,6915 ???0,3085 c.p(X≥t) = 1-p(X < t) = 1-Π(t) d.p(X≥1,05) = 1-p(X <1,05) = 1-Π(1,05)?1-0,8531?? ???0,1469

2. cas de la forme

???0,1359 ???0,2417 c. ???0,3413

3. cas de la forme

???0,0228 ???0,0668 c. p(X≥ -0,5) = Π(0,5)?? ???0,06915 ???0,2417 or on lit parlecture inversedans la table que :

Π(1,18) = 0,881

donc

Π(1,18) = Π(t)

donc ???t= 1,18 or on ne peut pas trouvertdirectement parlecture inversedans la table car 0,119 <0,5 : on a alors : (par symétrie) :1-Π(t) = Π(-t) = 1-0,119 = 0,881 donc

Π(-t) = 0,881

or

Π(1,18) = 0,881

donc

Π(1,18) = Π(-t)

doncquotesdbs_dbs4.pdfusesText_8