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TP5 : Les fonctions sousMATLABet l'interpolation

Cette seance de TP5 poursuit la familiarisation avecMATLAB. Le chapitre 3 du cours, en particulier ce qui concerne l'interpolation de Lagrange (section 3.2 du cours) ou l'interpolation par les polyn^omes trigonometriques (et ses consequences : algorithmes de transformation de Fourier rapide, multiplication rapide des po- lyn^omes

1,etc.,cf.la section 3.1.4 du cours), fournira la trame theorique de ce

TP5. OuvrezMATLABpour commencer.

Exercice1 (Differences divisees et polyn^ome de Lagrange). (1) Depuis le site web telechargez le chierDiffDiv.mcorrespondant a la routine fournissant (dans cet ordre), la liste desN+1differences divisees : y[x(1),...,x(N+1)], y[x(1),...,x(N)],..., y[x(1)] attachee a une liste de nombres complexesY=[y(1),...,y(N+1)]≪di- visee ≫par une liste de nombres complexes distincts

X=[x(1),...,x(N+1)]:

Apres avoir enregistre ce chierDiffDiv.mdans votre repertoireTPMATLAB, ouvrez le et veriez que la syntaxe de la fonction proposee correspond bien aux formules inductives sous tendant le tableau propose page 51 du poly- copie de cours. Montrez que le nombre de multiplications impliquees dans ce calcul est enO(N2). (2) Ouvrez un nouveau chier.m, vierge cette fois. En vous inspirant du schema de Horner (cf.la syntaxe page 40 du polycopie) et de la formule de Newton

Lagrange[X;Y](z)=

=y[x(1)]+N+1∑ k=2y[x(1),...,x(k)](zx(1)) (zx(k-1)) (formule (3.8) du polycopie, page 50), redigez dans ce chier une fonction : function LXX = LagrangeNewton (X,Y,XX) qui, etant donnee une liste de nombres complexes distinctsX(de longueur N+1) et une liste de nombres complexesYde m^eme longueur, evalue le polyn^ome de LagrangeZ7!Lagrange[X;Y](Z)aux points de la liste

1. Ceci sera repris dans un TP ulterieur sousMaple12, cette fois dans le cadre du calcul

arithmetique sans pertes, sous l'angle du calcul symbolique et de la cryptograhie. 1

2TP5 : LES FONCTIONS SOUSMATLABET L'INTERPOLATION

de nombres complexesXX(de longueur arbitraire) et renvoie en sortie la listeLXX(de m^eme longueur queXX) correspondant aux valeurs prises par ce polyn^ome de Lagrange aux entrees deXX(en respectant l'ordre de ces entrees). La fonctionDiffDivsera utilisee comme fonction auxiliaire. Sau- vez ce chier.mdans votre repertoire de travail (Workspace, iciTPMATLAB) commeLagrangeNewton.m. Testez ce chier en declarant la fonction f = inline('exp(-x.^2/2).*sin(pi*x)','x'); puis en declarant : >> X= -3:.1:3 ; >> XX=-3:.05:3 ; >> LXX=LagrangeNewton(X,f(X),XX); >> plot(XX,f(XX),'r'); >> hold >> plot(XX,LXX,'k'); Qu'observez vous? Recommencez avec cette fois les instructions >> X= -6:.2:6 ; >> XX=-6:.05:6 ; >> LXX=LagrangeNewton(X,f(X),XX); >> figure >> plot(XX,f(XX),'r'); >> hold >> plot(XX,LXX,'k'); Qu'observez vous cette fois? Hors de quel segment de [6;6] l'approxima- tion defpar son polyn^ome de Lagrange se met-elle a derailler? Recom- mencez en prenant cette fois plus de points d'interpolation : >> X=-6:.15:6; >> XX=-6:.05:6 ; >> LXX=LagrangeNewton(X,f(X),XX); >> figure >> plot(XX,f(XX),'r'); >> hold >> plot(XX,LXX,'k'); Les choses s'arrangent-elles ou empirent-elles par rapport a la gure 2?

Continuez avec encore plus de points :

>> X=-6:.1:6 ; >> XX=-6:.05:6 ; >> LXX=LagrangeNewton(X,f(X),XX); >> figure >> plot(XX,f(XX),'r'); >> hold >> plot(XX,LXX,'k'); Vous observez ici lephenomene de Runge. Voir pour plus de details le site surwikipedia:

TP5 : LES FONCTIONS SOUSMATLABET L'INTERPOLATION3

(3) Ouvrez un nouveau chier.mvierge et redigez dans ce chier un code function LXXT= LagrangeTchebychev(a,b,N,f,XX) qui, etant donne un segment ferme borne [a,b] deR(donne par deux bornes distinctesaetbdeclarees en ottants), un entier strictement positif N, une fonctionfde [a,b] dansRouCdeclareeinline('f(x)','x')au prealable (voir l'exercice 3 du TP 3), et une listeXXde points du segment [a,b], renvoie la liste des valeurs aux points deXXprises par le polyn^ome d'interpolation de Lagrange interpolant lesN+1valeurs de la fonctionf auxN+1points du segment [a,b] donnes par

X(k)=a+b

2 +(ba 2 cos((2*k-1)*pi

2*(N+1)

;k=1,...,N+1: Ces points sont deduits par homothetie et translation desN+1zeros dans [-1,1] du polyn^ome de TchebychevTN+1donne par T

N+1(cos() = cos((N+ 1))82R:

Vous serez amenes a utiliser la fonctionLagrangeNewtonconstruite a la question 2 comme fonction auxiliaire appelee lors de l'execution du code correspondant a la fonctionLagrangeTchebychev. Sauvez le chier dans votre repertoire de travail (Workspace, iciTPMATLAB) comme le chier LagrangeTchebychev.m. Testez le en prenant la fonctionfde la question 2 : >> f = inline('exp(-x.^2/2).*sin(pi*x)','x'); >> XX=-6:.05:6 ; >> LXXT=LagrangeTchebychev(-6,6,30,f,XX); >> figure >> plot(XX,f(XX),'r'); >> hold >> plot(XX,LXXT,'k'); Qu'observez vous maintenant en comparaison avec le phenomene de Runge observe a la question 2? Prenez des valeurs deNplus grandes queN=30, par exempleN=35,40,45,50et recommencez. La situation empire-t'elle encore cette fois? Que se passe-t'il malgre tout si l'on persiste a augmenter N(prenezN=60pour voir). Pourquoi cette liste de points deduite des zeros du polyn^ome de TchebychevTN+1se comporte-t-elle mieux du point de vu de la qualite de l'interpolation au bord (si on la compare a l'interpolation de Lagrange avec des points equidistribues sur [a,b] (comme a la question

2)? Expliquez pourquoi les choses se g^atent malgre tout lorsqueNest pris

trop grand (exempleN=60). Exercice2 (la methode recursive de Neville-Aitken). (1) Telechargez depuis le site le chierlagrange.m(il a ete reactualise, aussi devez vous le re-telecharger m^eme si vous l'avez deja). Ouvrez ce chier et veriez que la syntaxe du code recursif ecrit ici est bien celle conduisant a la construction du polyn^ome d'interpolation de Lagrange suivant la demarche recursive de Neville-Aitken, telle qu'elle est presentee pages 52 et 53 du polycopie.

4TP5 : LES FONCTIONS SOUSMATLABET L'INTERPOLATION

(2) Ouvrez un chier.mvierge et, en vous inspirant du codelagrange, redigez un code function LXXN=NevilleAitken(a,b,N,f) qui, etant donne un segment ferme borne [a,b] deR(donne par deux bornes distinctesaetbdeclarees en ottants), un entier strictement positif N, une fonctionfde [a,b] dansRouCdeclareeinline('f(x)','x')au prealable (voir l'exercice 3 du TP 3), renvoie (sous la forme de la liste de ses coefficients) le polyn^ome d'interpolation de Lagrange interpolant les N+1valeurs de la fonctionfauxN+1points du segment [a,b] equirepartis entreX(1)=aetX(N+1)=b. Testez ensuite ce code pour representer (avec des valeurs deNegales aN=5,7,10,12) les graphes des interpolees sur [1;1] avec pas regulier des fonctions f1= inline('x.^7+3*x.^5-2*x+1','x'); f2= inline ('x.*cos(x) -log(x+2)+1','x'); f3= inline('1./(1+x.^2)','x'); f4= inline('(1+x.^2-x.^3).*exp(x/5)','x'); Pensez pour cela a evaluer au prealable votre polyn^omeLXXN(dontLXXN gure juste la liste des coefficients) sur le vecteurXXdesN+1points de [1;1] regulierement espaces de1/N: >> XX=-1:1/N:1; >> LXXN=NevilleAitken(-1,1,N,f); >> LXXNevalue=polyval(LXXN,XX);quotesdbs_dbs4.pdfusesText_8

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