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Terminale

Option mathématiques complémentaires

Programme 2020

Fiches d'exercices à compléter

Auteur : Pierre Lux

Toutes les corrections sont consultables en ligne

http://sitemath.fr ou http://pierrelux.net •1 : Limites de suites •2 : Limites et continuité des fonctions •3 : Calculs de dérivées : rappels et compléments •4 : Logarithme népérien •5 : Équations différentielles - Primitives •6 : Intégrales •7 : Convexité des fonctions •8 : Lois de probabilité discrètes •9 : Lois de probabilité continues10 : Séries statistiques à deux variables

1 : Suites numériques : exercices - page 1 corrections : http://pierrelux.net

Thèmes d'étude :

Modèles d'évolution

Modèles définis par une fonction d'une variable

Comportement global d'une suite

Ex 1-1 : Vrai ou faux

1 ) Une suite est toujours soit croissante, soit décroissante.

2 ) Une suite peut être à la fois croissante et décroissante.

3 ) Si

(un) est décroissante, alors u0⩾u1⩾u2⩾u3⩾u4

4 ) Si u0⩾u1⩾u2⩾u3⩾u4, alors (un) est décroissante.

5 ) Si

(un) est de signe constant, alors (un) est monotone.

6 ) Soit une suite

(un) et la fonction f telle que pour tout n∈ℕ, un=f(n). a ) Si (un) est croissante, alors f est croissante sur ℝ+. b ) Si f est croissante sur ℝ+, alors (un) est croissante. c ) Si f est bornée sur ℝ+, alors (un) est bornée. d ) Si (un) est bornée, alors f est bornée sur ℝ+.

7 ) Une suite décroissante peut avoir une limite égale à 100.

8 ) On peut déterminer le signe de la dérivée d'une suite

(un) pour déterminer les variations de (un).

Ex 1-2

: Déterminer un+1 en fonction de un Dans chaque cas, déterminer une formule de récurrence de la suite.

1 ) Chaque terme est égal au triple du terme précédent.

2 ) La somme de deux termes consécutifs est toujours égal à 5.

3 ) Chaque terme est une augmentation de 20 % du terme précédent.

4 ) un+1=f(un) où f(x)=3x+5 4x+1

5 ) un=7n-3

6 ) un=2n-5 7 ) un=1×2×3×...×n 8 ) un=1n+1

9 ) u0=8 , u1=10 , u2=13 , u3=17 , u4=22 ...

10 ) u0=1 , u1=5 , u2=21 , u3=85 ...

Ex 1-3

: Étudier la monotonie Dans chaque cas, étudier la monotonie de la suite (un). 1 ) u0=1 et un+1=un+n²-3n+5 2 ) un=n×( 1 2) n

3 ) un=12+22+...+n2

4 ) u0=5 et un+1=un-2n

5 ) un=1×2×3×...×n

1 : Suites numériques : exercices - page 2 corrections : http://pierrelux.net

6 ) un=n²3n

7 ) un=n3-12n2+45n (Aide : étudier une fonction)

8 ) un=n²-4 n2+1 (Aide : étudier une fonction)

Ex 1-4

: Représenter graphiquement une suite définie par récurrence

Dans chaque cas, on considère la fonction

f telle que, pour tout entier naturel n, un+1=f(un) . À l'aide de la droite d:y=x, représenter les premiers termes de la suite sur les axes, puis conjecturer le comportement de la suite (variations et limites éventuelles). 1 ) 2 ) u0=1,5 et un+1=2un-1

3 ) u0=2 et un+1=1

un+0,5 Limites de suites : les différents cas possibles

Ex 1-5 : Vrai ou faux

1 ) Si l'intervalle

]2,999;3,001[ contient tous les termes de la suite (un) à partir d'un certain rang alors lim n→+∞un=3

2 ) S'il Ex 1-iste un intervalle ouvert ne contenant pas une infinité de

terme de la suite (un), alors (un) ne converge pas vers L.

3 ) Si tout intervalle de la forme

]A ;+∞[, où A∈ℝ, contient au moins un terme un avec n⩾100, alors (un) tend vers +∞.

4 ) Si tout intervalle de la forme

]-∞;B[, où B∈ℝ, contient tous les termes de la suite (un) pour n⩾100, alors (un) tend vers -∞.

5 ) Si

(un) prend un nombre fini de valeurs, alors (un) converge.

6 ) Une suite peut avoir plusieurs limites.

7 ) Si une suite ne converge pas, alors sa limite est +

∞ ou -∞.

Ex 1-6 :

Suite positive à partir d'un certain rang

Montrer que toute suite qui converge vers 0,1 est strictement positive à partir d'un certain rang.

Opérations sur les limites

Ex 1-7 : Utiliser les opérations sur les limites Étudier dans chaque cas la convergence de la suite (un). 1 ) un=-2n2+e n 2 )

1 : Suites numériques : exercices - page 3 corrections : http://pierrelux.net

3 ) un=(2+3

n)(5-1 n3) 4 ) un=1 (2n+1)(-n²-9) 5 ) un=n+21 6 ) un=2+3n 5-2n2 7 ) un=5n2

10-(2+1n)(5+1n)

Ex 1-8

: Lever une indétermination Étudier dans chaque cas la convergence de la suite (un). 1 ) un=n55-n22-e 2 ) un=1

2n⁴-2n3+5n2-1

4 3 ) un=n2-3n+1n2+4

4 ) un=9-n²(3n+2)(2n+1)

5 ) 6 ) 7 )

1 : Suites numériques : exercices - page 4 corrections : http://pierrelux.net

Ex 1-9 : Trouver des suites

1 ) Dans chacun des cas suivant trouver deux suites

u et v ayant pour limite + ∞ telles que : a ) lim n→+∞(un-vn)=+∞ b ) lim n→+∞(un-vn)=-∞ c ) lim n→+∞(un-vn)=1 d ) u-v n'a pas de limite.

2 ) Dans chacun des cas suivant trouver deux suites

u et v vérifiant lim n→+∞un=+∞ et lim n→+∞vn=0 , telles que : a ) lim n→+∞(unvn)=+∞ b ) lim n→+∞(unvn)=0 c ) lim n→+∞(unvn)=1 d ) uv n'a pas de limite.

Ex 1-10

: Raisonnement par l'absurde Soit (un) et (vn) deux suites définies sur ℕ . On suppose que (un) est convergente et (vn) est divergente . Soit (wn) la suite définie par wn=un+vn.

1 ) Montrer que la suite

(wn) est divergente.

2 ) Soit

(un) la suite définie sur ℕ par un=(-1)n+1 n2+1.

Démontrer que

(un) est divergente.Limites et comparaison Ex 1-11 : Théorème de comparaison ou d'encadrement Étudier dans chaque cas la convergence de la suite (un). 1 ) un=3sin(n) n2 2 ) un=3+(-1)n 3 ) un=3(-1)n+n 4 ) un=2cos(n) n+sin (n) 2n 5 ) un=5n+(-1)n+1

2n+(-1)n

6 ) un=-3n3+3cos( 1 n)

1 : Suites numériques : exercices - page 5 corrections : http://pierrelux.net

Ex 1-12 : Passage à la limite

On considère la suite

(vn) telle que pour tout entier naturel n, vn⩽-n+1n+4

On suppose que la suite (vn) est convergente.

Montrer que

lim n→+∞vn⩽-1

Limite d'une suite géométrique

Ex 1-13 :

Étudier dans chaque cas la convergence de la suite (un). 1 ) (un) est une suite arithmétique de raison 1 4. 2 ) un=1,00001n 3 ) un=3+( 11 12) n 4 ) un=(-85) n 5 ) un=(-1 7) n 11 12) n 6 ) un=∑ k=0n(5 4) k 7 ) un=(-1)n 3n 8 ) un=en-4n4n-1 9 ) un=2n+1+52n 52n-3

1 : Suites numériques : exercices - page 6 corrections : http://pierrelux.net

Ex 1-14 : Nombre rationnel

1 ) Soit

(un) la suite définie sur ℕ* par un=3,777777... (n chiffres 7) u1=3,7 , u2=3,77 ...

Montrer que la limite de

(un) est un nombre rationnel.

2 ) Montrer que 2,47474747... est un nombre rationnel.

Suites arithmético-géométriques

Ex 1-15 :

On considère la suite arithmético-géometrique (un) définie par{ un+1=0,5un+1,5 u 0 =1

1 ) Représenter graphiquement les 4 premier termes de la suite (un).

2 ) Conjecturer la limite de la suite

(un)

3 ) Compléter la fonction Python suivante pour qu'elle renvoie le terme

de rang n de la suite (un). 1 2 3 4 5 def u(n): u= for i in range ( ..... , ..... ): u= return ..........

4 ) En utilisant la fonction Python ci-dessus, retrouver le résultat

conjecturé à la question 2. Suites arithmético-géométriques et problèmes Ex 1-16 :Baccalauréat ES Amérique du Sud nov 2019 - Ex 1-2 Suites arithmético-géométriques - Algorithme de seuil 1 2 3 4 5 n=0 u=5000 while ( ........... ): n=n+1 u=...........

1 : Suites numériques : exercices - page 7 corrections : http://pierrelux.net

Ex 1-17 :Baccalauréat ES Antilles-Guyanne sept 2017 - Ex 1-2

Suites arithmético-géométriques

Calculatrice ou python

1 : Suites numériques : exercices - page 8 corrections : http://pierrelux.net

Algorithme

Ex 1-18 : Méthode de Newton-Raphson

1 ) Introduction :

Dans un repère orthonormé

(O;⃗i,⃗j), on considère la fonction f définie par f(x)=x3+x-3 et sa courbe représentative Cf représentée ci- dessous.

On constate que

Cf coupe l'axe des abscisses en un unique point

d'abscisse α dont nous allons déterminer une valeur approchée. a ) Tracer la tangente

Tx0 à Cf au point d'abscisse x0=3

2 . Tx0 coupe l'axe des abscisses en un unique point A .

Déterminer l'abscisse

x1 de A . b ) Tracer la tangente Tx1 à Cf au point d'abscisse x1 . Tx1 coupe l'axe des abscisses en un unique point B d'abscisse x2. Que dire de x2 ?

2 ) Mise en place de l'algorithme :

Revenons sur le cas général.

Soit f une fonction dérivable sur ℝ telle que f(x)=0 admette une unique solution α sur ℝ et telle que la dérivée ne s'annule pas.

On note

Cf sa courbe représentative et x0 un réel.

a ) Déterminer l'équation de la tangente

Tx0 à Cf au point d'abscisse x0.

b ) Démontrer que l'abscisse x1 du point d'intersection A1 de Tx0 avec l'axe des abscisses vaut x1=x0-f(x0) f'(x0) . On peut alors répéter ce procédé en remplaçant x0 par la nouvelle abscisse x1, et ainsi obtenir la suite (xn) des réels x1, x2, x3 ... de plus en plus proche de α.c ) On s'intéresse à nouveau à la fonction f définie par f(x)=x3+x-3. Compléter les pointillés dans le programme suivant écrit en Python pour qu'il affiche les valeurs la suite (xn) jusqu'à n=10 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 from math import *

N=int(input("N="))

x_0=float(input("x_0=")) def f(x): return ( def f_prime(x): return ( def MethodeNewton(x_0, N): x= for i in range(..................): x.append( return x print(MethodeNewton(x_0,N)) Tester ce programme pour différente valeur de x0 . Que constatez-vous ? d ) On se propose maintenant pour éviter les calculs inutiles de stopper le programme quand la différence entre deux termes consécutifs de la suite est inférieure à une précision p. Pour cela, compléter les pointillés dans le programme ci-dessous : 1quotesdbs_dbs7.pdfusesText_13