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Universite Claude Bernard{Lyon I
Licence 3 de Mathematiques : Geometrie elementaireAnnee 2012{2013Courbes de Bezier
1 ○RappelsPolyn^omes de Bernstein :Bk;n(t)=?n
k?tk(1-t)n-ksi 0⩽k⩽n,Bk;n(t)=0 sinon. En general, on prendt?[0;1]. Dans le plan, on choisit jusqu'a la n de la che un entiern⩾1 et une famille de points (P0;:::;Pn). On denit lacourbe de Beziersur lespoints de contr^ole(P0;:::;Pn), notee M [P0;:::;Pn](t)ou plus simplementM(t), par la formule suivante, independante du choix d'un pointOdu plan : ?t?[0;1]; M(t)=O+n k=0B k;n(t)??→OPk;ou bienM(t)=?P0⋯Pn B0;n(t)⋯Bn;n(t)?:
2 ○Proprietes des courbes de Bezier a) ≪Invariance ane≫ Soitf?R2→R2une application ane. Montrer que l'image parfde la courbe de Bezier sur les points de contr^oleP0;:::;Pnest la courbe de Bezier sur les points de contr^olef(P0);:::;f(Pn). b) Enveloppe convexe Montrer que la courbe est tout entiere contenue dans l'enveloppe convexe des points de contr^ole. c) In uence de l'ordre des points Montrer sur un exemple (disons avecn=4) que l'ordre des points de contr^ole est important. Determiner une permutation non triviale des points de contr^ole qui ne modie jamais la courbe de Bezier. d) Contr^ole pseudo-local Verier que si on bouge un et un seul des points de contr^olePj, la courbe entiere est modies (sauf eventuellement ses extremites sij?{0;n}). Justier qualitativement que si l'on bouge le pointPj, la courbe est modiee≪surtout≫pour les valeurs detau voisinage dej?n. e) Interpolation aux extremitesVerier queM(0)=P0, queM(1)=Pn.
Montrer que la courbe admet un vecteur tangent ent=0 et que ce vecteur dirige la demi- droite[P0P1); montrer la courbe admet un vecteur tangent ent=0 et que ce vecteur dirige la demi-droite[PnPn-1). 3 ○Autour de l'algorithme de Casteljau Algorithme de Casteljau : at?[0;1]xe, on denitMj;0=Pjpour 0⩽j⩽npuis, a l'etape `?{1;:::;n}: M j;`=Mj;`(t)=?Mj;`-1(t)Mj+1;`-1(t)1-t t? (0⩽j⩽n-`):
Alors, on a :M0;n(t)=M(t).
a) Justication (vue en cours)Verier la relation fontamentale :
P0⋯Pn+1
B0;n+1(t)⋯Bn+1;n+1(t)?=⎛
P0⋯Pn
B0;n(t)⋯Bn;n(t)? ?P1⋯Pn+1
B0;n(t)⋯Bn;n(t)?
1-t t⎞
En deduire la validite de l'algorithme de Casteljau, c'est-a-dire queM0;n(t)=M(t). 1 b) Construction eective Observer le tableau suivant, le commenter, l'implementer (par exemple avec Geogebra)... M0;0M1;0M2;0⋯Mn-1;0Mn;0
M0;1M1;1⋯Mn-2;1Mn-1;1
M0;2M2;2Mn-2;2
M 0;n (On pourra l'utiliser pour demontrer que l'algorithme de Casteljau est correct, c'est-a-dire que l'on a bien :M0;n(t)=M(t)pour toutt.) c) Recollement Observer la gure ci-dessus (tiree de wikipedia) et montrer que la courbe de Bezier de points decontr^oleP0;:::;Pns'obtient en concatenant (≪recollant≫) deux courbes de Bezier bien choisies.Voici l'identite a demontrer : pouru?[0;1], on noteN(u)le point courant de la courbe de
Bezier associee aM0;0(t);M0;1(t);:::;M0;n(t), c'est-a-dire :