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Faire le graphique approprié (courbe cumulée croissante) On pourra ainsi remplir le tableau des effectifs ou fréquences cumulées croissants suivant :

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On rappelle que les fréquences cumulées croissantes sont définies seulement pour les La représentation graphique de la fonction de répartition (ou fréquence Revenus en $ Nombre de personnes Fréquence Fréq cumulée croissante

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L'effectif cumulé croissant (resp décroissant) de i x est la La fréquence cumulée croissante de i x est la Les courbes de fréquences ou d'effectifs cumulés :

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effectifs des valeurs inférieures [ respectivement supérieures ] ou égales à cette valeur, ® la fréquence cumulée croissante [ respectivement décroissante ] d'une  

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Courbe des fréquences cumulées croissantes Voici les notes des élèves d'une classe ( Classe E) Classes [ 2 ; 4 [ [ 4 ; 6 [ [ 6 ; 8 [ [ 8 ; 10 [ [10 ; 12 [ [12 ; 14 [ [14 

[PDF] Correction du TD no 5

Valeurs effectif fréquence fréquence cumulée 0 10 0 2 0 2 des fréquences et la courbe (en escalier) des fréquences cumulées (cf Fig 1) 4 Courbe des frequence cumulees Valeurs Puisque F est croissante, trouver a tel que F (2 + a

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Si n est l'effectif (ou la fréquence) cumulé(e) croissant(e) correspondant à la compléter le tableau, tracer la courbe des fréquences cumulées croissantes et 

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NB : on constate qu'il y a bien 31 élèves, au total, dans la classe puisque l'effectif cumulé dans la colonne 16/20 est de 31 2 Fréquences cumulées Pour calculer  

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Pour ce type de comparaisons, on introduit la notion de fréquence La fréquence cumulée de la modalité mi est le rapport de l'effectif cumulé de la modalité mi par l'effectif Représentation graphique : cas de la variable discrète Modalités

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Pour calculer la fréquence cumulée croissante d'un modalité (ou classe) : ajouter à Pour tracer le polygone ou courbe des effectifs cumulés croissants ECC :

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Correction du TD n

o5

Exercice 1 :

1. On commence par compl eterles deux colonnes de dr oite.On en d eduit n=100:2= 50. On complete alors la colonne eectif.Valeurseectiffrequencefrequence cumulee

0100.20.2

150.10.1

3100.20.5

415

0.30.8

5100.21

2. Il s'agit d'une v ariablede nature quan titaivediscr ete. 3. Les r epresentationsgraphiques adapt eesson tle diagramme en b^ atons des frequences et la courbe (en escalier) des frequences cumulees (cf

Fig.1)

4.

La mo yenne xest donnee par

x=150 (010 + 15 + 310 + 415 + 510) = 2:9

L'ecart-typesest donnee par

s=r1 50
((0x)210 + (1x)25 ++ (5x)2 10) = 1:83

Le coecient de variationCVest donnee par

CV= 100sx= 62:5

Le modeM0est la valeur associee a l'eectif le plus grand, iciM0= 4.0 1 2 3 4 5 6

0.000.050.100.150.200.250.30

Diagramme en batons des frequences

Valeurs

Frequences

0 1 2 3 4 5 6

0.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0

Courbe des frequence cumulees

Valeurs

FrequenceFig.1 { Representation graphique de l'exercice 1.

Exercice 2 :

1. On comm encepar com pleterconjoin tementles colonnes "classe" et "centre". On complete ensuite conjointement les colonnes "frequence", "frequence cumulee" et "hauteur" (la frequence d'une classe est donnee par le produit de sa hauteur et son amplitude). On complete enn la 1

colonne eectif en utilisantn=100:02= 500 et la colonne "frequence".Classeeectiffrequencefrequence cumuleehauteurcentre

[0, 1[100.020.020.020.5 [1, 2[800.160.180.161.5 [2, 2.5[1200.240.420.482.25 [2.5, 3[1100.220.640.442.75 [3,4[900.180.820.183.5 [4,5[700.140.960.144.5 [5, 10[200.0410.0087.5 2. Il s'agit d'une v ariablede nature quan titaivecon tinue. 3.

La mo yenne xest donnee par

x=1500 (0:510 + 1:580 ++ 7:520) = 2:96

L'ecart-typesest donnee par

s=r1 500
((0:5x)210 + (1:5x)280 ++ (7:5x)220) = 1:34

Le coecient de variationCVest donnee par

CV= 100sx= 45:4

4. Les r epresentationsgraph iquesadapt eesson tl'histogrammes (des hau - teurs) et la courbe (ane par morceaux) des frequences cumulees (cf

Fig.2).

5. Le quartile Q1est un nombre compris entre 2 et 2:5, donnee par Q

1= 2 +2:520:420:18(0:250:18)

= 2:150 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Histogramme

Valeurs

Hauteurs

0 2 4 6 8 10 12

0.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0

Courbe des frequence cumulees

Valeurs

FrequencesFig.2 { Representation graphique de l'exercice 2. Le quartileQ2est un nombre compris entre 2:5 et 3, donnee par Q

2= 2:5 +32:50:640:42(0:50:42)

= 2:68 2 Le quartileQ3est un nombre compris entre 3 et 4, donnee par Q

3= 3 +430:820:64(0:750:64)

= 3:61

Exercice 3 :

1.

V oirla gure 3. 0

2 4 6 8 10 12

0.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0

Courbe des frequences cumulees

Valeurs

FrequencesFig.3 { Representation graphique de l'exercice 3. 2. La v ariableest de nature quan titatived iscretepuisque la courb edes frequences cumulees est une courbe en escalier. Pour construire le ta- bleau de representation, on commence par remplir la colonne "valeur" (ce sont les abscisses des points de saut de la courbe) et la colonne "frequence cumulee". On utilise alors cette derniere pour completer la colonne "frequence". Il reste a remplir la colonne "eectif" a l'aide de la colonne "frequence" et de l'eectif total 500.Valeurseectiffrequencefrequence cumulee

11000.20.2

21000.20.4

5500.10.5

71250.250.75

9750.150.9

10500.11

3.

La mo yenne xest donnee par

x=1500 (1100 + 2100 ++ 1050) = 5:2 Le modeM0est la valeur associee a l'eectif le plus grand, iciM0= 7. Exercice 4 :On noteXle nombre de demande par mois. D'apres l'enonce, Xsuit une loiN(78;5). Par propriete de la loi normale,X78p5 suit une loi N(0;1). On noteFla fonction de repartition d'une loi normale centree reduite. 1. La probabilit eque, sans apprivisionnemen tsuppl ementaire,la pro duc- tion ne soit pas susante pour faire face a la demande est donnee par

P(X >80) =PX78p5

>2p5 = 1F(2p5 = 0:1867 2. On note a2R+le stock de securite. La probabilite de defaut face a 3 la demande est donnee parP(X >80 +a). On doit trouveratel que

P(X >80 +a)0:025,PX78p5

>2 +ap5 0:025 ,1F2 +ap5 0:025 ,F2 +ap5 0:975 On notex2Rl'antecedent de 0:975 parF, autrementF(x) = 0:975.

PuisqueFest croissante, trouveratel que

F

2 +ap5

0:975,2 +ap5

x ,ap5x2 D'apres la table statistique,x= 1:9. On en deduita2:25 3. Le m ^emeraisonnemen tque dans la question pr ecedentep ermetd e conclure que le stock de securiteaest un entier qui verieap5x2 ouF(x) = 0:97. D'apres la table statistique,x= 1:88. On en deduit a3.

Exercice 5 :

1.Xsuit une loi bin^omiale de parametren= 10000 etp= 0:2.

2. P ourrapp el,une v.a. de loi B(n;p) peut s'ecrire comme la somme den v.a. independantes de loi de Bernoulli de parametrep. Une application classique du theoreme centrale limite est donc qu'une loiB(n;p) peut ^etre approcher par une loiN(np;np(1p)). De plus, d'apres le cours, cette approxumation est valide sin30,np5 etn(1p)5. On est bien dans les conditions d'approximation puisquen= 10000, np= 2000 etn(1p) = 8000.

La probabilite que le nombre de connexions soit superieure a unnombrex0 est donnee parP(X > x)P(Yx) ouYune v.a. de

loiN(2000;1600). De plus,

P(Yx) =PY200040

x200040 = 1F(x200040 Soita0 tel queF(a) = 0:975, une valeur approche du nombre de connexionsxque le point d'acces doit pouvoir gerer simultanement est donnee par

1Fx200040

0:025,Fx200040

F(a) x200040 a ,x40a+ 2000 La table statistique de la loi normale fournita= 1:96. On en deduitquotesdbs_dbs32.pdfusesText_38