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??PQFonction de distribution cumulativeAdministrationÉconomique etSociale

Mathématiques

XA100M

??PQDans le chapitre précédent, les résultats ont tous été donnés en effectifs. Cela n"est pas pertinent si l"on veut comparer des études dont les populations ont des tailles différentes. Pour ce type de comparaisons, on introduit la notion de fréquence.

??PQ1.FRÉQUENCESOn considère la situation statistique suivanteModalitésm1m2···mpEffectifsn1n2···npL"effectif total est

n=p? i=1n i=n1+n2+···+np. Lafréquencede la modalitémiest le rapport de l"effectif de la modalité sur l"effectif total : f i=nin. ??PQComme tous les nombres, les fréquences peuvent être exprimées en pourcen- tage.

effectifs.Modalitésm1m2···mpFréquencesf1f2···fpLa somme des fréquences est égale à 1=100% :

f

1+f2+ ··· +fp=n1n+n2n+ ··· +npn=n1+n2+···+npn=nn=1.

??PQLes fréquences sont proportionnelles aux effectifs : pour chacunes des moda- litésmi, on a f i=1nni. En conséquence, dans les graphiques, les grandeurs proportionnelles aux ef- fectifs sont aussi proportionnelles aux fréquences. Dans le chapitre précédent, on peut refaire les graphiques en remplaçant les effectifs par les fréquences.

??PQExemple-Population : 60 personnes;-Individus : chaque personne;-Variable : taille;-Modalités : les nombres positifs;-Quantitatif;-Continu;-Ordinal.Modalités

(en m)moins de

1,601,60 à

1,651,65 à

1,701,70 à

1,75plus de

??PQ2.FONCTION DE DISTRIBUTION CUMULATIVEOn considère un caractèrequantitatif.Modalitésm1m2···mpEffectifsn1n2···np´On am1 ´L"effectifnide la modalitémiest le nombre d"individus ayantmipour modalité. L"effectif cumuléde la modalitémiest le nombre d"individus ayantau moins m ipour modalité, c"est-à-dire ayant soitm1, soitm2, soitm3,etc. soitmipour modalité.

L"effectif cumulé de la modalitémiest donc

i? k=1n k=n1+n2+···+ni. ??PQLafréquence cumuléede la modalitémiest le rapport de l"effectif cumulé de la modalitémipar l"effectif totaln, c"est donc : 1ni k=1n k=n1+n2+···+nin.

Puisque

n =f1+f2+···+fi, la fréquence cumulée de la modalitémiest aussi la somme des fréquences des modalitésm1,m2,...,mi, c"est-à-dire i? k=1f k=f1+f2+···+fi. ??PQExemple Même cadre que l"exemple précédent.Modalités (en m)moins de

1,601,60 à

1,651,65 à

1,701,70 à 1,75plus de

1,75Effectifs1521294Effectifs

cumulés11+5=61+5+21 =271+5+21+29 =5660Fréquences ??PQLafonction de distribution cumulative en effectifsest la fonction qui à chaque modalité associe son effectif cumulé. Lafonction de distribution cumulative en fréquencesest la fonction qui à chaque modalité associe sa fréquence cumulée.

??PQReprésentation graphique : cas de la variable discrèteModalit´esm1m2m3...mp-1mpEffectifscumul´esn1n1+n2n1+n2+n3...n1+n2+n3+···+np-1n1+n2+n3+···+np-1+np+Diagramme en escalier.

??PQReprésentation graphique : cas de la variable discrèteModalit´esm1m2m3...mp-1mpEffectifscumul´esn1n1+n2n1+n2+n3...n1+n2+n3+···+np-1n1+n2+n3+···+np-1+np+Entre les modalitésmietmi+1la courbe est un segment de droite.

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