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On considère un fil pesant ou une chaînette à maille fine de longueur 2L et Cette équation transcendante est résolue numériquement et on en déduit a = u/z

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5) Soit à trouver un segment de droite de même longueur s que l'arc AC En établissant l'équation de la courbe, nous avons vu que 2 2 s= x 

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et d'une charge distribuée de type 2 dans l'autre cas (chaînette) 2 2 Les équations d'équilibre externe et le calcul des réactions d'appui Nous ne considérons 

Calcul mécanique des lignes électriques dans le cas de longues

6 à 6', la nouvelle courbe d'équilibre fera partie d'une chaînette de module m ; ce segment de chaînette aura une longueur Z' donnée par l'équation : (7/er)

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Le but de ce premier exercice est l'étude du problème de la chaînette, c'est-à-dire la Dans le repère choisi, l'équation de la chaînette est donnée par y(x) = c 

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DE LA CHAINETTE et l'équation différentielle de la surface S sera En prenant la somme des produits respectifs des équations (3) par P,Q,R, on trouve

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la compréhension du problème, mais ne figurent pas dans l'original On en déduit : CH - =tan(CDH) = DH 2/ L'équation différentielle de la chaînette :

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2 jui 2008 · courbe est une chaınette, dont l'équation fait intervenir un cosinus hyperbolique Afin de modéliser mathématiquement le probl`eme, 

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Quelle est la courbe de surface donnée qui minimise son péri- mètre ? 10 Équation de la chaînette Une chaîne y(x) est suspendu entre deux points distant de a

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LE Chapitre I : Rappels généraux.

________ 1

Chapitre 13

Les câbles

Calculer une structure : de la théorie à l"exemple 318

Hkktrsq`shnm`tqdbsndsognsnrbh,cdrrntr9

Mât haubané de 11 mètres servant de soutien au tilleul classé de Doyon en Belgique, plusieurs

fois centenaire. Conception, ingénieur conseil : Pierre Latteur, 2004-2005.

Croquis : Dominique Langendries.

Chapitre 13. Les câbles

319

1. INTRODUCTION

Les câbles sont utilisés notamment pour les ponts suspendus ou haubanés, les pylônes haubanés, les couvertures suspendues ou les contreventements. Les torons sont des assemblages de fils métalliques enroulés hélicoïdalement autour

d"un fil central et constitués d"acier à très haute limite d"élasticité atteignant plu-

sieurs fois celle de l"acier traditionnel de charpente. Ils peuvent contenir des centai- nes de fils et atteindre des limites de rupture de plusieurs centaines de tonnes. Leur module d"élasticité intrinsèque E c est plus petit que celui du matériau acier à cause de l"enroulement des fils en hélice : une valeur de 170.000 [MPa] n"est pas rare. Les câbles sont constitués d"un ensemble de torons alignés (on parle de câbles à torons parallèles) ou enroulés autour d"une âme centrale métallique ou textile (on parle alors de cordages). Les cordages possèdent un module d"élasticité intrinsèque encore plus faible, qui peut être inférieur à 140.000 [MPa]. Dans le cadre de cet ouvrage nous parlerons toujours de câble, indépendamment des distinctions ci-dessus. Le calcul exact d"une structure composée de câbles est souvent laborieux pour une raison évidente : contrairement aux structures à éléments rigides, la géométrie déformée d"un câble après chargement est très différente de sa géométrie initiale. Cette particularité a une double conséquence : d"une part, le principe de superposition n"est plus applicable et, d"autre part, le calculateur ne peut plus se

baser sur la géométrie de la structure non chargée pour écrire les équations d"équi-

Toron

Ensembles de torons

enroulés : cordages

Câble à torons parallèles

Toron

Cordage Âme métallique ou textile

Fil métallique central

Fil métallique périphérique

Calculer une structure : de la théorie à l"exemple 320
libre comme il a l"habitude de le faire pour les structures classiques (dans la mesure où l"on peut négliger les effets du second ordre, voir chapitre 1, §12).

2. GÉNÉRALITÉS SUR LA STATIQUE DES CÂBLES

2.1. La parabole et la chaînette

L"arc funiculaire et le câble sont des structures analogues. En effet, pour une même géométrie et un même chargement, les efforts qui y règnent ne diffèrent que par leur signe : l"arc est en compression tandis que le câble est en traction. Par ailleurs, dans le chapitre relatif aux arcs funiculaires, la géométrie parabolique a été claire- ment distinguée de la chaînette (chap. 11, §5) : · la parabole est le funiculaire d"une charge uniformément répartie par unité de longueur horizontale, par exemple un tablier suspendu (on néglige le poids propre du câble et des suspentes) : · la chaînette est le funiculaire d"une charge uniformément répartie par unité de longueur prise le long du câble, comme son poids propre éventuellement combi- né à une couverture directement accrochée au câble : qhoriz [kN/m] uniforme

Charge distribuée de sxod0 :

Parabole

J 6 ' !

Charge distribuée de sxod1 :

Chaînette

qhoriz [kN/m] variable

Chapitre 13. Les câbles

321
Dans la suite de ce chapitre, on parlera d"une charge distribuée de type 1 lorsque la charge est uniformément distribuée par unité de longueur horizontale (parabole) et d"une charge distribuée de type 2 dans l"autre cas (chaînette).

2.2. Les équations d"équilibre externe et le calcul des réactions d"appui

Nous ne considérons ici que les câbles soumis à des charges verticales. Dans ce cas les deux réactions horizontales sont forcément égales mais de sens opposés. Par ailleurs, les deux réactions d"appui verticales peuvent être différentes si les charges sont dissymétriques ou les appuis à des niveaux différents. L"équation d"équilibre horizontal servant à prouver que les deux réactions horizontales sont égales, trois équations sont encore nécessaires. En plus de l"équation d"équilibre vertical et de celle d"équilibre des moments par rapport à l"un des appuis, on peut encore profiter du fait que le moment fléchissant est nul en tout point du câble pour établir une seconde équation d"équilibre des moments, par exemple par rapport au point le plus bas du câble. Toutes les réactions d"appui peuvent alors être calculées.

2.3. Constance de la composante horizontale de l"effort de traction

Si les charges sont verticales, les deux réactions horizontales sont égales et de sens opposés. L"équilibre des efforts horizontaux sur tout tronçon du câble montre alors que la composante horizontale N H de l"effort de traction qui y règne est cons- tante et égale à la réaction d"appui horizontale R

H. Cette propriété est aussi valable

pour les câbles soumis à une charge distribuée. Q 1 N RH RVA NH RH RVA RH Q2 Q 1 Q 3

NH = Cste = RH

RVB A B A Calculer une structure : de la théorie à l"exemple 322
Rsqtbstqdcdk`snhstqdcdk`f`qdcdKdtudm+Adkfhptd-Photo du dessus : câble de contreventement des arcs métalliques supportant la couverture de la gare, vu de la naissance des arcs en tête de pile. Photo du dessous : accrochage de ces mêmes câbles en tête de pile. (Architectes et ingénieurs Samyn and Partners avec le bureau d"études Setesco; photos de l"auteur, 2004).

Chapitre 13. Les câbles

323

2.4. Câble droit = effort infini

La réaction d"appui horizontale d"un câble dont les appuis sont au même niveau, de

portée L, de flèche H et soumis à une charge répartie q, est égale à celle de l"arc

(chap. 11, §3.2), soit qL

2/(8H). De ce fait, si le câble est de plus en plus tendu, la

flèche H du câble diminue et le dénominateur de l"expression précédente tend vers zéro. Il est donc impossible de rendre un câble complètement droit puisqu"il fau- drait pour cela lui appliquer une traction infinie.

2.5. Module d"élasticité selon la corde d"un câble très tendu

Par corde, on entend la droite joignant les appuis. Comme expliqué au §1, l"enrou- lement en hélice est responsable du fait que le module d"élasticité intrinsèque E c d"un câble est plus petit que le module d"élasticité E du matériau. Dans certains cas, un autre phénomène doit aussi être pris en compte dans l"évaluation du module d"élasticité. En effet, lorsque des câbles sont utilisés comme des barres de treillis destinées uniquement à reprendre des efforts normaux, ils sont fortement tendus entre deux points. C"est le cas des câbles de ponts haubanés, de ceux des pylônes haubanés ou de certains contreventements. Dans de telles situations, ces câbles, horizontaux ou obliques, sont si tendus que l"oeil pourrait faire croire qu"ils sont parfaitement droits. En réalité, leur poids propre leur donne une déformée inévitable : ils se comportent alors comme des éléments droits, mais dont le module d"élasticité est inférieur au module d"élasticité intrinsèque E c du câble. Il est dès lors utile de définir un module d"élasticité pris selon la corde du câble (c"est-à-dire selon la droite joignant ses appuis), noté E corde, et qui est alors fonction à la fois du module d"élasticité intrinsèque E c du câble et de la contrainte qui y rè- gne. Soit L0 la longueur d"un câble tendu entre deux appuis. En supposant dans un premier temps qu"il est inextensible (module d"élasticité E du matériau infini), il est possible de le tendre da- vantage par un supplément d"effort DN, allant de pair avec un écartement de ses appuis égal à DL. Le câble de section A se comporte alors comme une barre dont le module d"élasti- cité apparent vaut (on utilise ici la loi de Hooke, voir chap. 1, §7) : DN DL L0 Corde Calculer une structure : de la théorie à l"exemple 324
()()0LLANEappDD= Comme le module d"élasticité intrinsèque E c du câble n"est pas infini (il vaut, par exemple, 170.000 [MPa]), le module selon sa corde vaut finalement :

EEEEEEEc

appcappc corde<<+=

2.6. Tronçon soumis à l"effort de traction maximal

Comme la composante horizontale de l"effort de traction doit rester constante (voir §2.3), c"est le tronçon le plus incliné qui est soumis au plus grand effort de traction. C"est donc à l"un des deux appuis (et pas nécessairement au plus élevé) que cet effort sera maximum.

2.7. Théorème d"analogie avec la poutre

Ce théorème, également utile pour la recherche des formes funiculaires des arcs (voir chapitre 11, §7.5), est d"une importance capitale pour la résolution de certains

problèmes liés aux câbles. Il postule que la forme du câble est la même que celle du dia-

gramme des moments d"une poutre de même portée soumise aux mêmes charges. Il s"énonce comme suit : ds.ntchrsqhatàdr(9

NH = Cste = RH

N L Q1 Qi Qn Hx

Q1 Qi Qn

RH RH Mx VC1 VC2 xi D

VP1 VP2

x y

Chapitre 13. Les câbles

325

· soit RH la réaction d"appui horizontale;

· soit Hx la distance verticale entre un point du câble et la droite joignant ses ap- puis (définie par le terme corde); · soit Mx le moment fléchissant, au même point, d"une poutre isostatique de même portée que le câble et supportant les mêmes charges.

Alors on a :

HxxRMH=

Cette propriété se démontre aisément comme suit :

1. Équilibre des couples extérieurs par rapport à l"appui droit, respectivement

pour la poutre et le câble : LDRVV xLQDRLVxLQLVHCPn i iiHCn i iiP=-? 11 1 11

1:Câble:Poutre

[1]

2. Le moment en tout point (x,y) du câble est nul. En y faisant l"équilibre de rota-

tion du tronçon situé à gauche de ce point, on obtient : ( )0 11 i j iiHC xxQyRxV [2]

3. Le moment Mx en toute abscisse x de la poutre vaut, en considérant le tronçon

situé à gauche de cette abscisse x : i j iiPx xxQxVM 11 [3] En éliminant le terme de somme entre [2] et [3], on trouve : ()yRxVVMHCPx+-=11 En éliminant de cette relation le terme ()11CPVV- à partir de [1], on obtient : xHMxLDyR=) ou encore : xxHMHR= (CQFD) Remarquons que la démonstration est à peu de choses près identique si le câble est soumis à des charges réparties, combinées ou non à des charges ponctuelles. Calculer une structure : de la théorie à l"exemple 326
aTraction :

P+0,5Q/sina

Effort de compression

dans le mât : 2Pcosquotesdbs_dbs32.pdfusesText_38