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Elle passe par A et C et elle est tangente respectivement `a (AB) et (BC) en ces points Si A,B,C sont alignés, la courbe Γ est égale au segment [AB] Sinon on a :

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C représente une courbe de Bézier de degré N dans l'espace à 3 dimensions comme étant une Calcul du vecteur tangent à une courbe de Bézier 11) du

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On définit la courbe de Bézier sur les points de contrôle (P0, ,Pn), notée Montrer que la courbe admet un vecteur tangent en t = 0 et que ce vecteur dirige la 

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C1 est la courbe de Bézier définie `a partir des points de définition A, M, N, B C2 est une courbe de Bézier reliant O et B, ayant en B une tangente parall`ele `a 

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En tout point M, la tangente à la courbe est le segment [M1M2] • M(t) se situe à la même proportion du segment [M1M2] que M1 par rapport au segment [AB] ou 

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Vocabulaire : le segment [AB] est la Courbe de Bézier de degré 1 avec les points de contrôle A point M, la tangente à la courbe est le segment [M1M2]

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Les courbes de Bézier ont été introduites par l'ingénieur français Pierre Bézier, qui tra c est tangente en c0 au segment [c0,c1] et en cn au segment [cn−1,cn]

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28 oct 2009 · Résumé : on décrit ici les propriétés des courbes de Bézier et leur application au lissage ((xn−1,yn−1); (xn,yn)) est tangente `a la courbe en

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Tangente verticale : il faut changer de référentiel ○ vecteur tangent à la courbe Q au point Q(t) Les courbes de Bézier, définies par deux points de contrôle

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la courbe est, localement, la plus proche, par analogie avec la tangente `a une courbe (plane) en un point qui est la droite qui ressemble le plus `a cette courbe en 

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1

Technique de points de

contrôle:

Formes de Bézier

Courbes, surfaces et volumes

2

Définition d'une courbe de Bézier

Soient P

i (x i , y i , z i ), i = 0, 1, 2, ..., N, l'ensemble des points de contrôle,

C(u) =

i=0,1,2, ..., N f i,N (u) P i u [0,1] C représente une courbe de Bézier de degré N dans l'espace à 3 dimensions comme étant une somme pondérée des points de contrôle fournis par l'usager. C est une courbe paramétrique où, à chaque valeur de u correspond un point sur la courbe et vice versa. Pour déterminer les poids associés aux points de contrôle, i.e. les fonctions f i,N (u), Bézier a exigé les propriétés suivantes : (1) La courbe de Bézier doit passer par P 0 et P N pour contrôler parfaitement la position des deux extrémités de la courbe. Les autres points de contrôle ne font pas partie de la courbe. (2) La tangente à la courbe en P 0 est définie par P 1 -P 0 et la tangente à la courbe en P N est définie par P N -P N-1 pour contrôler la tangente aux deux extrémités. 3

(3) La propriété précédente peut être généralisée à des dérivées d'ordre plus

élevé. Ex. : la dérivée d'ordre 2 à P 0 est définie par P 0 , P 1 et P 2 En général, la dérivée d'ordre r à P 0 est définie par {P i , i = 0, 1, 2, ..., r}. Nous obtenons un résultat semblable pour l'autre extrémité P N On pourra facilement construire des splines à l'aide des courbes de Bézier. (4) Les fonctions f i,N (u), i = 0, 1, 2, ..., N sont symétriques par rapport à u et 1 - u c'est-à-dire, f i,N (u) = f N-i,N (1 - u). Cela signifie que nous pouvons inverser la suite de points de contrôle définissant la courbe sans changer la forme de celle-ci : P i P N-i , i = 0, 1, 2, ..., N, Cela modifie seulement le sens de parcours dans l'espace paramétrique u [0,1].~ 4 f i,N (u) = N u i (1-u) N-i est une distribution binomiale de paramètre u et N. i Bézier a choisi la famille de fonctions suivantes pour satisfaire à ces propriétés :

X ~ Bin(N, u)

Prob(X = x) = u

x (1 - u) N-x , x = 0, 1, 2, ..., NN x

0sinon.

= # succès sur n répétitions indépendantes où u = probabilité qu'une expérience soit une réussite. 5 P 0P 1P 2P 3

Courbe de Bézier de degré 3

P 0 P 1 P 2 P 3 N = 3

C(u) = (1 - u)

3 P 0 + 3u (1 - u) 2 P 1 + 3u 2 (1 - u) P 2 + u 3 P 3 u [0, 1] 6

Propriétés des courbes de Bézier

Quelques propriétés des courbes de Bézier dans l'espace à 3 dimensions :

1)C(0) = P

0

C(1) = P

N 2) i=0,1,2, ..., N f i,N (u) = 1 pour tout u [0,1] car les fonctions f i,N (u) correspondent à une distribution binomiale et, par conséquent, la somme des probabilités est égale à 1.

C(u) conv(P

0 , P 1 , P 2 , ...,P N ) pour tout u [0,1]. P 0 P 1 P 2 P 3 P 4 7

Propriétés des courbes de Bézier

3)C'(u)

àu = 0

= N (P 1 -P 0 le segment est tangent à la courbe en P 0 C'(u)

àu = 1

= N (P N -P N-1 le segment est tangent à la courbe en P N dC(u) = 3{(1-u) 2 P 1 + u(1-u)P 2 + u 2 P 3 du

Exemple :

C(u) = (1 - u)

3 P 0 + 3u (1 - u) 2 P 1 + 3u 2 (1 - u) P 2 + u 3 P 3 u [0, 1] - (1-u) 2 P 0 - u(1-u)P 1 -u 2 P 2 u [0, 1] dC(u) = 3 (P 1 -P 0 du u = 0 dC(u) = 3 (P 3 -P 2 du u = 1 et 8

Propriétés des courbes de Bézier

4)Une transformation affine T aux points de la courbe revient à appliquer

T aux points de contrôle de celle-ci.

i=0,1,2, ..., N f i,N (u) (T P i ) T i=0,1,2, ..., N f i,N (u) P i Cette propriété n'est pas satisfaite pour des transformations en perspective.

5)Ne permet pas des modifications locales à la courbe.

Ex.: une légère perturbation à P

i entraîne des changements sur toute la courbe car les poids sont non nuls dans (0, 1).

6)C(u) est un polynôme en u de degré N. Si N est élevé, cela est coûteux d'évaluer

C(u). 9

Propriétés des courbes de Bézier

7)Le poids de P

i est : N u i (1-u) N-i i le poids maximum de P i est telle que df i,N (u) = 0 du i u i-1 (1-u) N-i -(N -i) u i (1-u) N-i-1 = 0 i (1 -u) -(N -i) u = 0 i - N u = 0 u = i / N.

Exemple :

C(u) = (1 - u)

3 P 0 + 3u (1 - u) 2 P 1 + 3u 2 (1 - u) P 2 + u 3 P 3 u [0, 1] d[3u (1 - u) 2 ] = d[3u + 3u 3 -6u 2 ] = 3 + 9u 2 - 12u = 0 u = 1/3. du du 10

Propriétés des courbes de Bézier

8)En augmentant la multiplicité d'un point, le poids associé à ce point est augmenté.

P i = P i+1 =>f i,N (u) + fquotesdbs_dbs32.pdfusesText_38