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ρ=f(θ)

P R= (O,⃗i,⃗j) ĕ

θPR ⃗u(θ) =θ⃗i+θ⃗j

i j ⃗u(θ) (ρ,θ)PR2M ĕ (ρ,θ)ðñÝÝÑOM=ρ⃗u(θ)

M (O,⃗u(θ)) OM=|ρ|

ÝÝÑOM⃗u(θ) ā ρě0

I R f:IÑR C1

C=!

ˇˇˇˇˇf(θ)θ

f(θ)θ

θÞÑ⃗u(θ) C8R ⃗u

θ(θ) =´θ⃗i+θ⃗j=⃗u(θ+π 2 ) ⃗v(θ) k⃗u

θk(θ) =⃗u(θ+kπ

2

C:ρ=f(θ),θP[0,5π

2 f C1 0 2

π3π

2

2π5π

2 f(θ)

0 + 0 + 0 + 0 + 0´ ´8

ĕ C:ρ=f(θ),θPR

2kπ) =f(θ+ 2kπ)⃗u(θ+ 2kπ) =f(θ)⃗u(θ) =ÝÝÑOM(θ)

OM(θ+π+ 2kπ) =f(θ+π+ 2kπ)⃗u(θ+π+ 2kπ) =´f(θ)(´⃗u(θ)) =ÝÝÑOM(θ)

@θPR,f(´θ) =f(θ) O x y?

M(´θ)

M(θ)

C R+R´

@θPR,f(´θ) =´f(θ) O x y

M(θ)?

M(´θ)

⃗u(´θ) @θPR,f(π´θ) =f(θ) O x y

M(θ)?

M(π´θ)

θP[π

2 ,+8[]´ 8,π 2

C θP[π

2 @θPR,f(π+θ) =f(θ) O x y?

M(θ)

M(π+θ)

@θPR,f(θ+π 2 ) =f(θ) [0,π 2 2 O @θPR,f(π 2

´θ) =f(θ)

O

M(θ)

M(π

2 4 @θPR,f(θ+ 2π) = 2f(θ)

2k,kPZ

C n:ρ=(nθ), nPN C

1n:ρ=(θ

n n= 1 [´π,π] O 1

C2:ρ=(2θ)

ρ(2π+θ) =ρ(θ) [´π,π]

ρ(π´θ) =´ρ(θ) [0,π

2 0 4 2

0 + 1 + 0

O 1 1

C3:ρ=(3θ)

ρ(2π

3 3 3 O

ρ(´θ) =´ρ(θ) [0,2π

6 3 3 0 3 0 + 0 C

12:ρ=(θ

2

ρ(θ+ 4π) =ρ(θ) [´2π,2π]

0π2π

0 + 1 + 0

C:ρ=f(θ),θPI ɍf C1

θ0PI M(θ0)

ÝÝÑOM=f(θ)⃗u(θ) ÝÝÑM

θ(θ) =f1(θ)⃗u(θ) +f(θ)loomoon

‰0M‰O⃗v(θ) (⃗u(θ),⃗v(θ)) θPR ā P

M(θ0)‰OÝÝÑM

θ(θ0) α⃗u(θ0) α

α=f1(θ0)

f(θ0) ⃗u(θ0),ÝÝÑM

θ(θ0))

ÝÝÑM

θ(θ0) =''''ÝÝÑM

θ(θ0)''''(α⃗u(θ0) +α⃗v(θ0))

θ(θ0)''''α=f(θ0) α‰0

α= ((OM0),T0) α=f1(θ0)

f(θ0)

α=f(θ0)

f

1(θ0)f1(θ0)‰0α=π

2

M(θ0) =O

M θ(θ0) =f1(θ0)⃗u(θ0) +f(θ0)⃗v(θ0) =f1(θ0)⃗u(θ0) kM

θk(θ0) =kÿ

i=0C ikf(i)(θ0)⃗u(k´i)(θ0) =Ckkf(k)(θ0)⃗u(θ0+ (k´k)π 2 ) =f(k)(θ0)⃗u(θ0) ⃗u(θ0)

C:ρ=a(1 +θ)Ŀ ś ŀ

ρ(θ+ 2π) =ρ(θ) [´π,π]

aą0 0 2 2a a0 2a a

1(θ) =´aθ

ρ1(θ)

ρ(θ)=´aθ

a(1+θ)=´θ

1+θ

θ= 0 α= 0 α=π

2

π(ÝÝÑOM,T) =α

2

α=´1 α=´π

4

π(ÝÝÑOM,T) =α

C:ρ=f(θ),θPIɍI

θÑθ0f(θ) =˘8ɍθ0PR(I)

%x(θ) =f(θ)(θ) y(θ) =f(θ)(θ)

θ0‰0 θ0y(θ)

x(θ)=(θ) θ0

θ0= 0 θ0y(θ)

x(θ)=(θ) (θ)ÝÝÝÑθÑθ0˘8

ρ=a(θ

2 )ɍaą0

ρ(θ+ 2π) =ρ(θ) ]´π,π[

ρ(´θ) =´ρ(θ) [0,π[ Oy

0 2

0 +a+ +8

y(θ) =ρ(θ)(θ) =a(θ 2 )(θ) =a(θ 2 2 )2(θ 2 2 )ÝÝÝÑθÑπ2a 2a a

C:ρ=a(1 +(θ

2

ρ(θ+ 2π) =ρ(θ) ]´π,π[

2 0π 2

´8 ´0 +a+ 2a+ +8

2a a y(θ) =ρ(θ)θ= 2a(1 +(θ 2 2 2 ) = 2a((θ 2 2 ) +2(θ 2 ))ÝÝÑ˘π2a

ρɍα= ((OM)ˆ,T)

1=a 2 (1 +2θ 2

α=1

2

α= 2OM T 2

2 1 =a 2a=1 2

β= ((Ox)ˆ,T)

β= ((Ox)ˆ,T) = ((Ox)ˆ,(OM)) + ((OM)ˆ,T) =π 2 2 +α) =´1

α=´1

2 ´1 2 %ρ(θ1) =ρ(θ2) = 0

1‰θ2

%ρ(θ1) =ρ(θ2)‰0

1"θ22πθ1‰θ2

%ρ(θ1) =´ρ(θ2)‰0

1"π+θ22π

θ1P]0,π[θ2P]´π,´π

2 θ1P]0,π[ ρ(θ1´π) =´ρ(θ1) 2 2 ) =´1´(θ1 2 1 +1 (θ1 2 )=´1´(θ1 2 (θ1 2 ) + 1 =´(θ1 2 )´2(θ1 2

2(θ1

2 ) = 1´2(θ1 2

2(θ1

2

1´2(θ1

2 )= 1 (θ1) = 1 θ1=π 4

Oθ=θ0 D

D 0 ⃗u(α) H D D=!

MPP,ÝÝÑHM¨⃗u(α) = 0)

MPP,ÝÝÑOM¨⃗u(α) =ÝÝÑOH¨⃗u(α)) M

PP,ÝÝÑOM¨⃗u(α) =h)

OM¨⃗u(α) =ρ⃗u(θ)¨⃗u(α)looooomooooon

MPDðñρ(θ´α) =h

ρ=h

O aě0ρ=a O aρ=´a

C O Ω (r,α)

ÝÑOΩ =r⃗u(α)

M(ρ,θ)

MPCðñΩM2=r2

ðñ(´r⃗u(α) +ρ⃗u(θ))2=r2

ðñr2+ρ2´2ρr(θ´α) =r2

%ρ= 0

ρ= 2r(θ´α)

C ρ= 2r(θ´α)

C:ρ=aθ+bθ

a=b= 0 C=tOu a2+b2‰0aθ+bθ 2r(θ´α) 2r=? a

2+b2α α=b

a

2+b2 α=a

a 2+b2

ŗ O Ω ÝÑOΩ =r⃗u(α)

Oeą0C=tMPP,OM=eMHuɍH

MD eą1 e= 1 0ăeă1 D ⃗u(α) K ÝÝÑOK=h⃗u(α)h‰0D O ⃗u(α) K D H M

D:ρ=h

H HPDÝÝÑMH ⃗u(α)

ÝÝÑMH=λ⃗u(α)

MH=ÝÝÑMO+ÝÝÑOK+ÝÝÑKM=´ρ⃗u(θ) +h⃗u(α) +ÝÝÑKHloomoon

K⃗u(α)

ÝÝÑMH¨⃗u(α) =´ρ(θ´α) +h=λ

MPCðñMO=eMH

ðñ |ρ|=e|h´ρ(θ´α)|

%ρ=e(h´ρ(θ´α))

ρ=´e(h´ρ(θ´α))

%ρ(1 +e(θ´α)) =eh

ρ(1´e(θ´α)) =´eh

%ρ=eh

1+e(θ´α)(a)

ρ=´eh

1´e(θ´α)(b)

ĕ MPC 1˘e(θ´α)‰0 h= 0e= 0

C ρ=eh

1+e(θ´α) (ρ,θ)

b+cθ+dθa‰0b2+c2+d2‰0 b= 0

ρ=a

cθ+dθ=a r(θ´θ0)r=? c 2+d2

ĕ b‰0c2+d2‰0

ρ=a/b

1+c/bθ+d/bθ=eh

1+e(θ´θ0)e=b

c 2 b 2+d2 b 2h=a be

D:ρ=h

(θ´θ0)=a cθ+dθ

ĕ b‰0c2+d2= 0

ρ=b

a Oquotesdbs_dbs32.pdfusesText_38