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Définitions Egalité de deux matrices Somme de deux matrices Multiplication d' une matrice par un réel ou un complexe Produit de deux matrices Cours BTS

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Définitions

Egalité de deux matrices

Somme de deux matrices

Multiplication d"une matrice par un réel ou un complexe

Produit de deux matricesCours BTS

Calcul matriciel

S. B.

Lycée des EK

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Egalité de deux matrices

Somme de deux matrices

Multiplication d"une matrice par un réel ou un complexe

Produit de deux matricesExemple

Définitions

Notation

ExempleDéfinition

On appelle matrice tout tableau de nombres réels ou complexes disposés sous la forme d"un rectangle : 0 B BBB@a

1;1a1;2::: :::a1;p

a

2;1a2;2::: :::a2;p

a n;1an;2::: :::an;p1 C CCCA nest le nombre de lignes etpest le nombre de colonnes. La matrice est dite de type(n;p).S. B.Présentation en Latex avec Beamer

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Multiplication d"une matrice par un réel ou un complexe

Produit de deux matricesExemple

Définitions

Notation

ExempleExemple

1 21 1 3 0 est une matrice de type(2;3)comportant deux lignes et trois colonnes.

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Egalité de deux matrices

Somme de deux matrices

Multiplication d"une matrice par un réel ou un complexe

Produit de deux matricesExemple

Définitions

Notation

ExempleSi la matrice comporte le même nombre de lignes et de colonnes, il s"agit d"une matrice carrée. Par exemple la matrice carrée de type(3;3):0 @1 21 1 3 0 4 131 A

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Egalité de deux matrices

Somme de deux matrices

Multiplication d"une matrice par un réel ou un complexe

Produit de deux matricesExemple

Définitions

Notation

ExempleSi la matrice ne comporte qu"une ligne, il s"agit d"une matrice ligne. Par exemple1 21S. B.Présentation en Latex avec Beamer

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Somme de deux matrices

Multiplication d"une matrice par un réel ou un complexe

Produit de deux matricesExemple

Définitions

Notation

ExempleSi la matrice ne comporte qu"une seule colonne, on dit que c"est une matrice colonne :0 @1 3 21
A Une matrice nulle est une matrice dont tous les éléments sont nuls.

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Multiplication d"une matrice par un réel ou un complexe

Produit de deux matricesExemple

Définitions

Notation

ExempleOn note généralementai;jle terme ou coefficient d"une matrice oùidésigne le numéro de la ligne etjle numéro de la colonne. On notera alors(ai;j)1in;1jpune matrice ayantnlignes etp colonnes.

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Produit de deux matricesExemple

Définitions

Notation

ExempleExemple

Dans la matrice

1 21 1 3 0 , on aa2;3=0.S. B.Présentation en Latex avec Beamer

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Egalité de deux matrices

Somme de deux matrices

Multiplication d"une matrice par un réel ou un complexe Produit de deux matricesDeux matrices sont égales si et seulement si ces matrices sont de même type, c"est-à-dire qu"elles ont le même nombre de lignes et de colonnes, et si leurs coefficients de mêmes indices sont égaux deux à deux.

S. B.Présentation en Latex avec Beamer

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Somme de deux matrices

Multiplication d"une matrice par un réel ou un complexe

Produit de deux matricesDéfinition

PropriétésDéfinition

SoientA= (ai;j)etB= (bi;j)deux matrices(n;p), c"est-à-dire deux matrices ànlignes etpcolonnes. Alors A+B= (ai;j+bi;j).A+Best encore une matrice de type (n;p).

Les matrices s"additionnent "termes à termes".

On noteAla matrice opposée deAsoitA= (ai;j)et on définitABparA+ (B).S. B.Présentation en Latex avec Beamer

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Somme de deux matrices

Multiplication d"une matrice par un réel ou un complexe

Produit de deux matricesDéfinition

PropriétésOn ne peut additionner des matrices que si elles sont de

même type (même nombre de lignes et de colonnes).A+B=B+A(A+B) +C=A+ (B+C)A+O=AoùOest la matrice nulle, la matrice de même

type queAne comportant que des zéros.A+ (A) =AA=OS. B.Présentation en Latex avec Beamer

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Somme de deux matrices

Multiplication d"une matrice par un réel ou un complexe

Produit de deux matricesDéfinition

PropriétésDéfinition

SoitA= (ai;j)une matrice(n;p), et2R(ouC). On pose : A= (ai;j). La matriceAest donc obtenue en multipliant tous les coefficients de la matriceAparet elle est du même type queA. Remarque : L"écritureAn"existe pas.S. B.Présentation en Latex avec Beamer

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Somme de deux matrices

Multiplication d"une matrice par un réel ou un complexe

Produit de deux matricesDéfinition

Propriétés(A+B) =A+B(+)A=A+A(A) = ()A0A=OS. B.Présentation en Latex avec Beamer

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Produit de deux matricesDéfinition

Propriétés

ExemplesDéfinition

Pour pouvoir calculer le produit de deux matricesAetB, le nombre de colonnes de la première matrice doit être égal au nombre de lignes de la seconde. Pour obtenir le terme de lai-ème ligne et de laj-ième colonne d"une matrice produit, il faut multiplier chacun des termes de la i-ème ligne de la première matrice par chacun des termes de la j-ième colonne de la seconde matrice en respectant l"ordre, et additionner alors les produits obtenus.

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Produit de deux matricesDéfinition

Propriétés

ExemplesSoitA= (ai;j)une matrice(n;m)etB= (bi;j)une matrice (m;p); alors le produitC=AB=ABest une matrice(n;p) définie parC= (ci;j)avec c i;j=X 1kma i;kbk;jS. B.Présentation en Latex avec Beamer

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Produit de deux matricesDéfinition

Propriétés

ExemplesA(BC) = (AB)CA(B+C) =AB+AC(B+C)A=BA+CAA(B) = (A)B=(AB)siAest une matrice carrée(n;n)et siIest une matrice

carrée(n;n)telle que tous les coefficients diagonaux sont égaux à 1 et tous les autres coefficients sont nuls, alors AI=IA=AsiAest une matrice carrée(n;n)alorsAAest notéA2. Attention: même si les deux produitsABetBAexistent, en généralAB6=BAS. B.Présentation en Latex avec Beamer

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Produit de deux matricesDéfinition

Propriétés

Exemples

1 21 1 3 0 0 @42 2 3 1 51 A

14+22+ (1)(1)1(2) +23+ (1)5

14+32+0(1)1(2) +33+05

91
10 7

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Propriétés

Exemples0

@42 2 3 1 51 A 1 21 1 3 0 0 @4121 4223 4(1)20

21+31 22+33 2(1) +30

11+5112+531(1) +501

A 0 @2 24 5 132

4 13 11

A

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