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Chapitre1Taux et indices

1.1

T auxd "évolution

1.1.1

Dé finitionDéfinition 1.1On appelletaux d"évolutiond"une quantité y1à une quantité y2le nombre t

défini par : tAEy2¡y1y

1AEValeur finale¡Valeur initialeValeur initiale

Remarque :Ce taux est positif pour une augmentation et négatif pour une baisse. ExempleLe prix d"un article passe de 80eà 60e. Quel est le taux d"évolution de ce prix? Le taux d"évolution de ce prix esttAE60¡8080

AE¡2080

AE¡0,25AE¡25%

Le prix a donc subi une baisse de 25%.

1.1.2

C oefficientmu ltiplicateurThéorème 1.1

Sitest le taux d"évolution d"une quantitéy1à une quantitéy2alorsy2AE(1Åt)£y1.

1Åtest appelécoefficient multiplicateurdey1ày2.Exemple1.U nequant ité1500augmente de30%. Quelle est la nouvelle valeur?

2. U nequant itéaugmen tede 25%pour arriver à la valeur3750. Quelle était la valeur initiale? 1. U nea ugmentationd e30 %corr espondà u nem ultiplicationpar 1 Å30100

AE1,3.

La nouvelle valeur est doncQAE1500£1,3AE1950

2. U nea ugmentationd e25 %corr espondà u nem ultiplicationpar 1 Å25100

AE1,25.

La valeur de départQ0vérifie doncQ0£1,25AE3750 et doncQ0AE37501,25

AE3000

1.1.3

É volutionssucc essivesThéorème 1.2

Si une quantité subit des évolutions successives de tauxt1,t2,t3, ... alors le tauxglobalTcorres-

pondant à ces évolutions vérifie :

1ÅTAE(1Åt1)£(1Åt2)£(1Åt3)...ExempleQuel est le taux T équivalent à des évolutions successives de¡30%,¡40%et¡10%?

Tvérifie : 1ÅTAEµ

1¡30100

1¡40100

1¡10100

AE0,7£0,6£0,9AE0,378

doncTAE0,378¡1AE¡0,622AE¡62,2%

Terminale STMG - 2016/2017

1

TAUX ET INDICESCOURS

1.1.4

T auxré ciproqueThéorème 1.3

Si une quantité subit une évolution de tauxt, le tauxréciproqueest le tauxt0qui permet à la

quantité de retrouver sa valeur initiale.

On a alors :

(1Åt0)£(1Åt)AE1

1Åt0AE11ÅtExempleQuel est le taux réciproque d"une évolution deÅ25%?

Le taux réciproquet0vérifie 1Åt0AE11Å25100

AE11,25

AE0,8

On a donct0AE0,8¡1AE¡0,2AE¡20%

1.2

I ndices

1.2.1

Dé finitionDéfinition 1.2L"indice en base 100 d"une quantité y2par rapport à une quantité y1est le

nombre : iAEy2y

1£100

ExempleLa population d"une ville est de 25000 habitants en 2010, 27000 en 2011 et 31000 en 2012. Calculer les

indices en base 100 de la population en 2011 et 2012 en prenant comme référence l"année 2010.

En 2011, l"indice esti1AE2700025000

£100AE108 et en 2012,i2AE3100027000

£100AE124

On obtient ainsi le tableau ci-contre :Année201020112012

Population250002700031000

Indice100108124

1.2.2

I ndiceet coe fficientmultiplica teur

Théorème 1.4

Siiest l"indice en base 100 d"une quantitéy2par rapport à une quantitéy1alorsi100 est le coef- ficient multiplicateur dey1ày2. Le taux d"évolution dey1ày2vérifie donc :

1ÅtAEi100

ExempleLe tableau précédent nous permet de conclure que le taux d"évolution de la population entre 2010 et 2011

est8%et celui entre 2010 et 2012 est24%. 2

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COURSTAUX ET INDICES

1.3

T auxm oyen

1.3.1

R acinen -ièmeDéfinition 1.3Soit a un nombre réelpositifet n un entier naturel. Il existe un unique réel

positif solution de l"équation x nAEa. Ce réel est appeléracinen-ièmede a et se note a1n . On le note aussi npa.

Remarque :Pour tout nombre positifa,a12

AEpa

ExempleOn a25AE32donc3215

AE2. On a aussi34AE81donc8114

AE3. 1.3.2

C alculd "unt auxmo yenDéfinition 1.4Si une quantité subit n évolutions successives de taux global T alors le taux

moyen de ces n évolutions est le taux t qui, appliqué n fois, est équivalent au taux T.Théorème 1.5

Le taux moyentdenévolutions successives de taux globalTdoit vérifier l"égalité :

(1Åt)nAE1ÅTExempleUn prix subit une évolution annuelle deÅ36%. Quel est le taux moyen mensuel correspondant à cette

évolution?

Le taux moyen mensuel est le tauxtvérifiant (1Åt)12AE1Å36100quotesdbs_dbs3.pdfusesText_6