e problème Liban 1978, d'une difficulté déjà déconcertante pour un sujet de baccalauréat de l'
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Paris juin 1978 - DevoirTN
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liban terminale C 1978, le problème - CAPES de Mathématiques
e problème Liban 1978, d'une difficulté déjà déconcertante pour un sujet de baccalauréat de l'
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Epreuves du baccalauréat : sujets (1944-1982)
ccalauréat organisé en deux parties, on passe, à partir de 1965, à un examen conçu en une seule
LE BACCALAUREAT SCIENTIFIQUE ET SON CONTEXTE
2006 · Cité 2 fois — l'année x, c'est-à-dire qui atteignent 18 ans l'année de leur baccalauréat 1962 1964 1966 1968 1970 1972 1974 1976 1978 1980 1982 1984 1986 1988 9 h de maths par semaine
pdf Baccalauréat C Paris juin 1978
[Baccalauréat C Paris juin 1978 EXERCICE 1 4 POINTS Dansl’anneau Z/91Z (dontles éléments sont notés ?0 1? ?2 90)? 1 discuter suivant les valeurs du paramètre a ?Z/91Z l’équation ax =0? 2 résoudrel’équation x2 +?2x ?3? =0 ? EXERCICE 2 4 POINTS Soit un plan euclidien rapporté àun repèreorthonormé R d
Bac 1978 Série C - Paris
Bac série C 1978 - Académie de Paris Exercice 1 : Rappel : les nombres · par exemple 1 = {91k tels que a x soit un multiple de « pointés » représentent les classes d’équivalence au sein de · Z/91Z c‘est à dire 1 k ? Z} Donc résoudre a x = 0 revient à trouver pour un a donné les x 91 Commençons par remarquer que 91 = 13 × 7
Epreuves du baccalauréat : sujets (1944-1982)
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Ecrit 2 CAPES Mathématiques
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Liban 1978 Terminale C: calcul d'une intégrale
de GaussVoici le problème Liban 1978, d'une difficulté déjà déconcertante pour un sujet de baccalauréat de l'époque
et bien entendu inimaginable actuellement.Il a pour objectif le calcul ambitieux d'une intégrale liée à la fonction de Gauss et intervenant en
probabilités.Pour parvenir au but, l'auteur du sujet développe sa propre démarche. On n'a pas la main, il faut " juste »
tenter de suivre tant bien que mal le raisonnement de l'auteur du sujet avec son arsenal personnel de
connaissances. C'était à cette époque une pratique courante et on la voit ici poussée à son extrême.
Nous sommes Thésée, nous avons à suivre un fil d'Ariane que l'on déroule pour nous, il reste à nous garder,
du mieux que nous pourrons, des nombreux Minotaures embusqués. Ce n'est pas une mince affaire.1. Le sujet
Soit f l'application de R dans R telle que ( )dttxxfx.)8:-=Î"
4/ 0 2 cos pexpR,1. Montrer que
()xxfx-£³"e,0 . Quelle est la limite de f quand x tend vers + ∞ ?2.1. Montrer que, pour tout réel b strictement positif :
'6 57£--B£Î"2.211xxbxxbxeeR et ( )
'6 57³--B-³Î"-2.211xxbxxbxeeR
2.2. Montrer que, pour tout réel a, il existe une application
aj de R dans R, continue en a, telle que ()0=aaj et ( ) ( ) ( )( ) 6 66657
8:- .xdttta axafxfxaj p4/ 0 22
coscosexp
R,. En déduire que f est
différentiable. Préciser la dérivée f' de f.3. Soit P une primitive (sur R) de l'application
()2expuu-a. Á tout réel x, on associe l'application Qx de 657
'-=2;2 ppIdans R, telle que()()txPtQtxtan=Î"R,3.1. Montrer que Q
x est dérivable sur I ; expliciter sa dérivée.3.2. Prouver que :
( )()dtttxxduux x..-=-Î"4/ 0 2220 2 costan pexpexpR,
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4. Soit g l'application de R dans R telle que ()()2xfxgx=Î"R,. Soit g' sa dérivée.
4.1. Montrer que
( )()()dttxxgx x.---=Î"0222'expexpR,4.2. Que peut-on dire da la fonction h telle que :
2 02 8: -+=Î".dttxgxhx xexpR, ?4.3. Quelle est la limite de
()dtt x.-02exp quand x tend vers plus l'infini ?Ecrit 2 CAPES Mathématiques
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2. Eléments de correction
Soit f l'application de R dans R telle que ( )dttxxfx.) 8: 4/ 0 2 cos pexpR,1. On va obtenir un peu mieux que ce qui est demandé :
Soit x un réel strictement positif.
1cos22,4;0££
'6 57Î"ttp. Ce qui implique que xtxxt-£-£- '6 57
Î"2cos2,4;0
p. La fonction exponentielle étant une fonction strictement croissante sur R : ( )( )xtxxt-£) 8: '6 57Î"expexpexp2cos2,4;0
p. Les intégrales par rapport à la variable t de ces trois fonctions sur '6 574;0p (dont deux sont constantes par rapport à t) sont rangées dans le même ordre. ( ) ( )( )( )xdtxdttxdtxx-=-£) 8: -£-=-...expexpexpexpexp4cos224 4/ 04/ 0 24/
0ppppp.
On obtient ainsi la double inégalité :
( ) ( )( )xxfx-££-expexp424 pp et cela quel que soit le réel strictement positif x. Le résultat demandé dans cette question en découle si on tient compte que ( ) ( )xx-£-expexp4 p. Puisque f est encadré par deux fonctions ayant pour limite zéro quand x tend vers + ∞ , d'après le théorème des gendarmes, f a elle aussi pour limite zéro en +2.1. On considère d'une part la fonction r
b définie sur ]]b,¥- par : ( )xxxrxb b++=1.212e -e
Sa fonction dérivée première est la fonction : ()1.'+=xb bxxre -e. Sa fonction dérivée seconde est la fonction : ()xb bxre -e='' . Vu que la fonction exponentielle est strictement croissante sur R, cette fonction est strictement positive pour bx<. En conséquence, la fonction dérivée première est strictement croissante sur ]]b,¥-, et puisque ()00'=br, cette fonction est du signe de x, négative sur ]]0,¥- et positive sur []b,0 .Ecrit 2 CAPES Mathématiques
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La fonction rb est strictement décroissante sur ]]0,¥-,strictement croissante sur []b,0 et admet un
minimum en zéro. Vu que ()00=br, ce minimum est nul, la fonction rb est positive sur ]]b,¥-. Ainsi '6 57³++£"01.212
2018xxbxxb
iagilbertjule -e, c'est-à-dire ( ) '6 57£--£"2.211xxbxbxee , l'égalité
n'ayant lieu que lorsque 0=x.On considère d'autre part la fonction s
b définie sur par : ( )xxxsxb b++=-1.212e -e
Sa fonction dérivée première est la fonction : ()1.'+=-xb bxxse -e. Sa fonction dérivée seconde est la fonction : ()xb bxse -e-='' . Vu que la fonction exponentielle est strictement croissante sur R, cette fonction est strictement négative pour bx->.En conséquence, la fonction dérivée première est strictement décroissante sur
[[¥+-,b, et puisque()00'=bs, cette fonction est du signe opposé à celui de x, positive sur []0,b- et négative sur [[¥+,0 .
La fonction s
b est strictement croissante sur []0,b-, strictement décroissante sur [[¥+,0 et admet un
maximum en zéro. Vu que ()00=bs, ce maximum est nul, la fonction sb est négative sur . [[¥+-,b Ainsi '6 57