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district inter-cantonal de patinage artistique) Tracer trois vecteurs et placer un point A comme sur la figure ci-dessous A× #»u #»v Exercice d'application

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Lors d'une compétition de patinage artistique, les concurrents réalisent Exercice 304: 19 page 134 Exercice 305: 52 page 137 Exercice 306: 53 page 137 Exercice 307 1) Dans chaque cas, dire si les vecteurs ont la même direction , le

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Activité 1 : Patinage mathématique championnat de troisième district inter- cantonal de patinage artistique) lui demande de travailler un mouvement Exercice : Sur la figure suivante, construire un représentant des vecteurs : • 3 − → u

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patin artistique, le patineur doit constamment lutter contre les forces de frottements cinétiques puisque les patins et le corps sont en mouvement constants sur la 

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spécialisation hâtive comprennent les sports artistiques et acrobatiques Ce facteur a le DLTA, en tant que vecteur de changement en constante évolution, est Présenter des exercices de force où les patineurs utilisent leur poids, ainsi que 

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R = (e-t ln(t2 + 1) –tan(t)) Trouver au temps t = 0 : a)dR/dt b)d2R/dt2 c) d) 5 2) Trouver un vecteur tangent à tout point de la courbe x = a cos(?t) y = a sin(?t) z = bt où a b et ? sont des constantes 5 3) Supposons que A = (t2 a) d(A ? B)/dt ; b) d(A × –t (2t 1 1)) et = ((2t - 3) 1 –t)

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3 Représenter les vecteurs variation de vitesse ? #$? 3 et ?#$? 9 respectivement au point M 3 et M 9 4 Quels sont les sens et les directions des vecteurs variations de vitesse ?#$? quelle que soit la date t 5 Montrer que la somme des forces appliquées à la « patineuse » est égale à la force exercée sur elle par

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“MS2_2G3_chapitrecomplet" — 2014/4/17 — 18:39 — page 1 — #1?

GÉOMÉTRIE1

Vecteurs

Connaissances du collège nécessaires à ce chapitre ?Connaître les propriétés du parallélogramme ?Lire les coordonnées d'un point ?Additionner et soustraire des nombres relatifs ?Reconnaître une situation de proportionnalité

Auto-évaluation

Des ressources numériques pour préparer

le chapitre sur manuel.sesamath.net@

1Lire les coordonnées des points suivants.

1)A3)C5)O7)J

2)B4)D6)I

+I +J O B +A C +D E

2Calculer mentalement.

1)3-5+6-(-7)3)3-3×(-2) +2

2)-4+3

-4-(-5)4)5+ (-3-2) -3-(-4)

3Dans chaque cas, peut-onaffirmer queABCDest

un parallélogramme?

1)AB=CD

2)AB=CDetAD=BC

3)AB=CDet(AB)//(CD)

4)[AC]et[BD]ont même milieu

4Les tableaux suivants sont-ils des tableaux de

proportionnalité? -235 3 3 5 ⎷22-63

3-4,53

4 4

31⎷210,5

1 “MS2_2G3_chapitrecomplet" — 2014/4/17 — 18:39 — page 2 — #2?

Activités d'approche

ACTIVITÉ1Patinage mathématique

L"entraîneur (un brin facétieux) de Ryan Gou- gère (troisième au championnat de troisième district inter-cantonal de patinage artistique) lui demande de travailler un mouvement.

Il le lui décrit de la façon suivante :

•La partie de ton corps, située enA

doit finir enB.

•Tout pointCde ton corps doit finir en un

pointDtel que les segments[AD]et[CB] aient le même milieu. AB

1)Reproduire la figure puis construire Ryan Gougère en position après le mouvement.

2)Quel est ce mouvement mystérieux?N"y aurait-il pas une manière plus simple de décrire l"imagedu pointC?

ACTIVITÉ2Zellige

Cette activité consiste à étudier l"enchaînementde deux translations sur un damier de carreaux

Zellige, un carrelage décoratif originaire de l"AntiquitéMéditerranéenne et du Moyen Orient.

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19#»u

v#»r#» w#»s t 1)

Enchaînement 1

a)Quelle est l"image du carreau 13 par latranslation de vecteur#»u? b)Quelle est l"image de cette image par latranslation de vecteur#»v?

c)Émettre une conjecture sur la nature dela transformation correspondant à l"en-chaînement de ces deux translations.

On notera#»u+#»vlescaractéristiques de

cette nouvelle transformation.

2)Enchaînement 2

a)Quelle est l"image du carreau 13 par latranslation de vecteur#»s? b)Quelle est l"image de cette image par latranslation de vecteur#»t? c)Émettre une conjecture sur#»s+#»t.

3)Enchaînement 3

a)Quelle est l"image du carreau 13 par latranslation de vecteur#»v? b)Quelle est l"image de cette image par latranslation de vecteur#»r? c)Émettre une conjecture sur#»v+#»r. 2

Chapitre G1.Vecteurs

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Activités d'approche

ACTIVITÉ3Sans carreaux

Tracer trois vecteurs et placer un pointAcomme sur la figure ci-dessous. A× #»u #»v #»w

1)Construire le pointCtel que# »AC=#»v+#»v.

2)Construire le pointBtel que# »AB=#»u+#»v+#»w.

DÉBAT4La Valette

L"île de Malte, de par sa position stratégique dans la mer Méditerranée, a fait l"objet de grandes

convoitises et invasions avant d"obtenir son indépendanceen 1964.

Théotime a été fasciné par ce mélange de cultures dès sa première visite de l"île et conseille le

voyage à tous ses amis. Il se fait un plaisir de fournir à ceux qui le désirent le plan ci-dessous

de La Valette, capitale de l"île. Il y a marqué d"une croix quelques sites à visiter : •A: Musée Archéologique•C: Cathédrale Saint John•G: Musée de la guerre •B: Lower Barraca Gardens•E: Église carmélite

Terminusdes bus

Upper

BarracaGardens×

BFort

SaintElmo×

G× E

A×CMint street

Bakery street

Republic street

Merchant street

Saint Paul street

Naïm veut visiter le musée d"archéologie, la cathédrale Saint John, Lower Baccara Gardens, le

musée de la Guerre, l"église Carmélite dans cet ordre.

Naïm arrive à la Valette, au terminus des bus, avec le plan de Théotime et a la désagréable

surprise de constater que le gouvernement maltais a remplacé tous les noms de rues en anglais par des noms maltais. Il n"arrive plus à se repérer.

1)Proposer une méthode pour repérer les sites sélectionnés par Naïm.

2)Proposer une méthode pour définir les déplacements entre chacun des sites.

Chapitre G1.Vecteurs3

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Activités d'approche

ACTIVITÉ5Coordonnées

Partie 1 : coordonnées d'un vecteur

1)Construire un repère(O;I,J). On notera# »OI=#»ıet# »OJ=#»?.

2)Placer dans ce repère les pointsM,P,Rtels que :

a)# »OM=2#»ıb)# »OP=3#»?c)# »OR=2#»ı+3#»?

4)Placer dans le repère le pointNde coordonnées(-5;1).

5)Donner une égalité vectorielle liant# »ON,#»ıet#»?.

6)On considère un point quelconqueEde coordonnées(xE;yE).

Donner une égalité vectorielle liant# »OE,#»ıet#»?. Les coefficients obtenus dans la décomposition du vecteur# »OE en fonction des vecteurs #»ıet#»?sont appelés coordonnées du vecteur# »OE.

Partie 2 : coordonnées de deux vecteurs

Compléter la figure de la partie1.

1)Placer le pointStel que# »OM=# »NS. Lire les coordonnées du pointS.

2)Conjecturer une relation liant les coordonnées des pointsM,N,S.

3)Conjecturer une relation liant les coordonnées de deux vecteurs égaux.

ACTIVITÉ6Opérations

Partie 1 : coordonnées d'une somme

1)Dans un repère(O;I,J), placer les points suivants.

2)Construire les pointsR,SetTtels que :

a)# »AR=# »AB+# »ACb)# »AS=# »ED+# »DBc)# »CT=# »BC+# »ED

3)Lire les coordonnées des vecteurs suivants :

a)# »ARb)# »ABc)# »ACd)# »ASe)# »EDf)# »DBg)# »CTh)# »BCi)# »ED

4)Quelles relations lient les coordonnées du vecteur#»u+#»và celles des vecteurs#»uet#»v?

Partie 2 : vecteurs colinéaires

On considère un repère(O;I,J).

1)Soit#»u?-1

4? et #»v? 5 2? . Calculer les coordonnées des vecteurs suivants.

2)Un cas simple et pratique

a)Placer un vecteur# »ABde coordonnées? 2 3? et un vecteur # »CDde coordonnées? 4 6? b)Que peut-on dire de ces coordonnées?

3)Parmi les vecteurs suivants, lesquels sont colinéaires?

•#»a?-6

3?•#»b?

0

5?•#»c?

8 -4?•#»d? 3

0?•#»e?

0 4? 4

Chapitre G1.Vecteurs

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Cours - Méthodes

1.Translations - Vecteurs associés

DÉFINITION :Translation

On considère deux pointsAetBdu plan.

On appelletranslation qui transformeAenBla transformation qui, à tout pointMdu plan, associe l"unique pointM?tel que[AM?]et[BM]ont même milieu. AB MM \\AB MM

VOCABULAIRE:

Le pointM?est appeléimagedu pointM.

On dit également queMest letranslatédeM?.

REMARQUE:Unetransformationsert àmodélisermathématiquement un mouvement. Lasymétrie centraleest la transformation qui modélise le demi-tour. Latranslationest la transformation qui modélise le glissement rectiligne. Pour la définir, on indique la direction, le sens et la longueur du mouvement.

PROPRIÉTÉ

On considère quatre pointsA,B,CetD.

Dire que la translation qui transformeAenBtransformeCenD équivaut à dire queABDCest unparallélogramme(éventuellement aplati). PREUVEC"est la conséquence de la propriété : "un quadrilatère est un parallélogramme si et seulement si ses diagonales se coupent en leur milieu».

DÉFINITION :Vecteurs associés

À chaque translation est associé unvecteur.

PourAetBdeux points, levecteur# »ABest associé à la translation qui transformeAenB. Lanotation"vecteur# »AB» regroupe les trois informations la définissant : la direction (celle de la droite(AB)), le sens (deAversB) et la longueurAB.

Aest l"originedu vecteur etBsonextrémité.

DÉFINITION

Deux vecteurs qui définissent la même translation sont ditségaux.

Deux vecteurs égaux ont

même direction; même sens; même longueur. /A B/ C D

Chapitre G1.Vecteurs5

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