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Théorie

et pratique de l'assurance vie

9782100563104-Petaut-lim.qxd 15/06/12 9:45 Page I

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Théorie

et pratique de l'assurance vie

Cours et problèmes corrigés

Pierre Petauton

Ancien professeur au Cnam

avec la collaboration de

Michel Fromenteau

Professeur au Cnam

Préface de Thomas Béhar,président de l'Institut des actuaires 4 e

Ždition

9782100563104-Petaut-lim.qxd 29/06/12 11:32 Page III

© Dunod, Paris, 2012

ISBN 978-2-10-056310-4

Pierre Petauton, ancien élève de l'École polytechnique et membre agrégé de l'Institut des actuaires, est entré en 1961 au service de contrôle des assu- rances du ministère des Finances ; il l'a quitté en 1989 alors qu'il était com- missaire contrôleur général, pour devenir contrôleur d'État, puis chef de la mission de contrôle des organismes d'assurance vieillesse. En outre, il a été membre de la Commission de contrôle des assurances, institution adminis- trative indépendante chargée de la surveillance des sociétés d'assurances. De 1971 à 2002, il a été professeur au Conservatoire national des arts et métiers où il a enseigné l'actuariat. Aujourd'hui retraité, il est membre du Conseil supérieur de la mutualité, et il a effectué plusieurs missions de conseil en actuariat. Michel Fromenteau, diplômé de l'ENSAE, membre agrégé de l'Institut des actuaires, a exercé pendant plus de vingt ans le métier de commissaire contrôleur des assurances auprès du régulateur de la profession (aujourd'hui l'Autorité de contrôle prudentiel, ou ACP). Il est depuis 2008 professeur titu- laire de la chaire d'actuariat du Conservatoire national des arts et métiers.

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© Dunod. Toute reproduction non autorisŽe est un dŽlit.

Table des matires V

Table des matières

Préface XIII

Introduction 1

Première partie

Les fondements de l'assurance sur la vie

1. Les conditions de fonctionnement de l'assurance vie5

I. Les opŽrations viagres 5

II. Le contrat dÕassurance vie 6

A. DŽnominations des prestations de lÕassureur 7

B. Versements du souscripteur 7

III. Analyse actuarielle dÕun contrat 8

IV. Les conditions de la gestion du contrat dÕassurance 9

A. Les opŽrations de capitalisation 10

B. Les opŽrations tontinires 10

V. Les comptes de lÕassureur 10

VI. La prime 12

A. La prime pure 12

B. Les chargements 12

VII. Principes de calcul des primes pures 13

A. LÕaspect financier 13

B. LÕaspect probabiliste 15

VIII. Prime pure et probabilitŽ 17

A. ProbabilitŽs composŽes. Formule de Bayes 18

Problme 1 19

2. Les probabilités viagères fondamentales 21

I. Les causes influant sur la mortalitŽ 22

A. Les causes gŽnŽrales 22

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B. Les causes tenant au phŽnomne de lÕassurance 22

C. La notion de groupe homogne 23

II. ProbabilitŽs de survie et de dŽcs dÕune tte assurŽe 24

A. ProbabilitŽ de survie 24

B. ProbabilitŽ de dŽcs 24

C. Application du thŽorme des probabilitŽs composŽes 26

III. Loi de survie 26

A. LÕindicateur de survie 26

B. Estimation du nombre de vivants ˆ lÕŽpoque t27

IV. Autres fonctions biomŽtriques 28

A. Le taux instantanŽ de sinistre 29

B. Le taux instantanŽ de mortalitŽ ou intensitŽ de mortalitŽ 29

C. Vie moyenne ou espŽrance de vie 30

D. Vie probable 32

V. Les coefficients de sŽlection 32

Problme 2 33

3. Probabilités viagères et observations

Les tables de mortalité35

I. DŽtermination des taux annuels de mortalitŽ 35

A. ThŽorme de la limite centrale 36

B. Intervalle de confiance 37

II. Lissage des rŽsultats 38

A. Exemples de mŽthodes 38

III. Ajustement sur des lois analytiques 40

A. Remarques prŽalables sur les formules dÕajustement 40

B. Formules appliquŽes 41

C. DŽtermination des coefficients de la formule de Makeham 43 D. Quelques tables franaises rŽglementaires 45

Problme 3 46

4. Tables de mortalité (compléments) 49

I. Observations tronquŽes ou censurŽes 49

A. LÕestimation actuarielle classique 50

B. Estimateur de Kaplan-Meier 50

II. Tables ˆ causes de sortie multiples 51

A. Taux instantanŽs. Hypothse dÕindŽpendance 52 III. Ajustement dÕune table par la formule de Makeham 52 A. Rappel des propriŽtŽs et de lÕintŽrt de la formule de Makeham 52

B. MŽthode du maximum de vraisemblance 53

C. La qualitŽ de lÕajustement : exemples pratiques 56

D. Conclusion 61

VI

THƒORIE ET PRATIQUE DE LÕASSURANCE VIE

9782100563104-Petaut-Tdm.qxd 28/06/12 13:59 Page VI

IV. Tables prospectives 61

A. Notations 61

B. Tables de gŽnŽration 62

C. Surfaces de mortalitŽ 62

D. Extrapolations 64

E. ƒvolution de q

x (t) en fonction de t64

F. Exemples de tables rŽglementaires 65

Problme 4 66

5. Probabilités viagères définies sur des groupes de têtes 69

I. DŽfinition des groupes et des Žtats Ð

ProbabilitŽs de survie simples et conditionnŽes 69 A. Groupes de ttes indŽpendantes, indicateur de survie 69 B. ProbabilitŽs viagres dŽfinies sur des groupes 70 II. Groupes disparaissant au premier ou au dernier dŽcs 71 A. ProbabilitŽ de survie dÕun groupe disparaissant au premier dŽcs 71 B. ProbabilitŽs de dŽcs et de survie dÕun groupe disparaissant au dernier dŽcs 73 III. Groupes disparaissant ˆ un dŽcs de rang quelconque 74 A. ProbabilitŽ pour que survivent exactement rttes 75 B. ProbabilitŽ pour que survivent au moins rttes 77 C. Extension de la notion de ttes constituant un groupe 78 IV. PropriŽtŽ caractŽristique de la loi de mortalitŽ dÕun groupequotesdbs_dbs2.pdfusesText_4