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Remarque : Lorsque x tend vers +∞ , la courbe de la fonction "se rapproche" de son asymptote La distance MN tend vers 0 2) Limite infinie à l'infini Intuitivement 

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Maths en Ligne Limites et continuité UJF Grenoble 1 Cours 1 1 Vocabulaire Une fonction f de R dans R est définie par son graphe : c'est un sous-ensemble Γ

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Synthèse de cours (Terminale ES) → Continuité, limites Continuité Définition Soit f une fonction définie sur un intervalle I On dira que « f est continue sur I » si  

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Limite, continuité, théorème des valeurs intermédiaires, dérivabilité, théorèmes de Rolle et des accroissements finis I Limites Continuités Exercice 1 :

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Ch1 : Limites et continuité (TS) - 1/8 - LIMITES et CONTINUITE I LIMITES EN L' INFINI a) Limite infinie Par exemple, considérons la fonction f dont la courbe 

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10 oct 2011 · Pour déterminer les limites des fonctions rationnelles aux valeurs interdites, on utilise la limite du quotient Exemples : Déterminer la limite en a 

[PDF] Leçon 1 : LIMITES Cours LIMITES ET CONTINUITÉ - cloudfrontnet

Les tableaux suivants permettent de donner, dans certains cas, la limite de la somme, du produit, du quotient de deux fonctions f et g, lorsqu'on connaît la limite  

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On peut aussi définir les limites `a gauche ou `a droite en x0 ∈ R que l'on note respectivement lim x− 0 f et lim x+ 0 f (voir votre cours de 1`ere année pour 

[PDF] TD 1 Fonctions : limites, continuité, dérivabilité

cours) (4) est encore une conséquence de la définition, et du fait que pour tout x dans l'ensemble R, ln(ex) 

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Cours de mathématiques ECT1 1 2 Limite finie en un point Soit f une fonction définie au « voisinage » d'un réel a On dit que f admet ℓ pour limite en a lorsque  

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Analyse : Chapitre 1

Fonctions : limites, continuit´e, d´erivabilit´e

I Rappels de vocabulaire

Dans ce chapitre on ne s"int´eresse qu"`a des fonctions num´eriques `a variable r´eelle, c"est-`a-dire des

fonctions d´efinies sur une partiedeRet `a valeurs dansR.

Soit donc: R

Soit0R, on dit queest d´efinie au voisinage de0ssi il existe un intervallecontenant0et non r´eduit `a un point tel que 0 . On dit queest une fonctionpairessi : ,? et(?) =(). On dit queest une fonctionimpairessi : ,? et(?) =?(). On dit queest une fonctionp´eriodique de p´eriodesiest d´efinie surRet si pour toutR,

Soitun intervalle contenu dans.

On dit queestcroissante(resp.d´ecroissante) sur l"intervalle ssi : (12)2 1?2(1)?(2) (resp.(1)?(2) ) On dit queeststrictement croissante(resp.strictement d´ecroissante) sur l"intervalle ssi : (12)2 1 2(1) (2) (resp.(1) (2) ) On dit queestmonotone(resp.strictement monotone) surssiest croissante ou d´ecroissante sur(resp.est strictement croissante ou strictement d´ecroissante sur). On dit queestmajor´eepar(resp.minor´eepar) surssi ()?(resp.()?) On dit queestborn´eessisiest major´ee et minor´ee sur. Analyse : Chapitre 1 Page 1 Fonctions : limites, continuit´e, d´erivabilit´e

II Limites

1 D´efinitions

D´efinition 1

Soitune fonction d´efinie sur une partiedeRet `a valeurs dansR. Soit0Rtel queest d´efinie au voisinage de ce point etR. On a limx

0=ssi :

0 0 tel que ?0 ()?

Soit0Rtel queest d´efinie au voisinage de ce point. On a limx

0= +ssi :

0 0 tel que ?0 ()

Siest d´efinie au voisinage de +, on a lim+=Rssi :

0 0 tel que ()?

Siest d´efinie au voisinage de +, on a lim+= +ssi :

00 tel que ()

Remarques :

- On peut aussi d´efinir les limites `a gauche ou `a droite en0Rque l"on note respectivement lim x0 et lim x+0. (voir votre cours de 1`ere ann´ee pour une d´efinition compl`ete) - De mˆeme on peut bien sˆur d´efinir lim x

0=?, lim=, lim+=?, lim= +, et lim=?.

Notations :

il existe deux principales fa¸cons de noter une limite, attention `a nepas les m´elanger : lim x

0=ou limxx0() =

2 Limites usuelles

?0+ ln()?(en 0+)+ x01+ r, 0entier pair : +0+ entier impair :? ln()

α, 0?(en 0+)0

αln(), 00+

x

α, 00+

αx, 000+

Analyse : Chapitre 1 Page 2 Fonctions : limites, continuit´e, d´erivabilit´e

Th´eor`eme 1

Tout polynˆome a la mˆeme limite en +et?que son monˆome de plus haut degr´e. Toute fraction rationnelle a la mˆeme limite en +et?que le rapport de ses monˆomes de plus haut degr´e.

3 Op´erations sur les limites

Dans cette partied´esigne soit un r´eel soit l"un des symboles +ou?. (On dit que R) limblimblimb(+)limb()limb = 000RS 0000? = 0RS0 0?0 = 0RSRS 0?RS

RS signifie qu"il faut d´eterminer le signe du r´esultat grˆace `a la r`egle des signes de la multiplication.

Les cases o`u il y a un? sont les cases o`u on ne peut pas donner de r´esultat g´en´eral. On appelle ce genre

de limite des formes ind´etermin´ees. C"est au cas par cas qu"il faut trouver la bonne m´ethode pour arriver

`a calculer la limite. (cf. exercices)

Propri´et´e 1

Soient,,trois ´el´ements deRetetdeux fonctions telles queest d´efinie au voisinage deet est d´efinie au voisinage de. Alors : lim xb() =; limxb() =limxb() =

4 Propri´et´es

Propri´et´e 2

Soientetdeux fonctions d´efinies sur le mˆeme ensemble. Soit0Ret on suppose queet ont des limites finies en0. Si?au voisinage de0alors limx

0?limx

0.

Th´eor`eme 2

Soient,, ettrois fonctions d´efinies sur le mˆeme ensembleet0R. On suppose queet admettent la mˆeme limiteRen0et que au voisinage de0on a??. Alors limx 0=. Le th´eor`eme pr´ec´edent est souvent appel´eth´eor`eme des gendarmes. Analyse : Chapitre 1 Page 3 Fonctions : limites, continuit´e, d´erivabilit´e

Propri´et´e 3

Soitune fonction croissante (resp. d´ecroissante) sur [;[ avec ?+. Siest major´ee par(resp. minor´ee par) sur [;[ alorsadmet une limite finieenet? (resp.?)

Sinon limb= +(resp. limb=?)

5 Branches infinies

a Asymptotes horizontales et verticales : (0R) Si limx

0=ou lim

x+0=ou lim x0=alors la droite d"´equation=0est une asymptotede la courbe repr´esentative de. Si lim=Ralors la droite d"´equation=est uneasymptotede la courbe repr´esentative de b Cas o`ulim=

M´ethode g´en´erale :

´Etape 1 :V´erifier que lim=.

´Etape 2 :Calculer limx()

- Si lim x() = 0 alors la courbe repr´esentative deadmet unebranche paraboliquede direction (). L"´etude de la branche infinie est alors termin´ee. - Si lim x() =alors la courbe repr´esentative deadmet unebranche paraboliquede direction (). L"´etude de la branche infinie est alors termin´ee. - Si lim x() =Ril faut passer `a l"´etape 2.

´Etape 3 :Calculer limx()?

- si lim x(()?) =Ralors la droite d"´equation=+est uneasymptotede la courbe repr´esentative de. - si limx(()?) =alors la courbe repr´esentative deadmet unebranche parabolique de direction la droite d"´equation=.

Exemple 1:

´Etudions la branche infinie en +de la fonction d´efinie par() =x+ 1x+ 1

´Etape 1 :lim+?

lim x+() = limx+ x(1 + 1(x)) x(1 +x)= limx+1 +x1 +x= +.

´Etape 2 :limx+()

D"apr`es les calculs pr´ec´edents lim

x+() = limx+1 +x1 +x= 1

´Etape 3 :limx+()?1

On a()?=x+ 1?(x+ 1)

x+ 1=1?x?1=(1?1)x(1 +x)=x1?11 +x Analyse : Chapitre 1 Page 4 Fonctions : limites, continuit´e, d´erivabilit´e

Donc limx+()?= 0

Conclusion :La courbe repr´esentative deadmet une asymptote en +, la droite d"´equation

III Continuit´e

1 D´efinition

D´efinition 2

- Soitun intervalle deRetune fonction d´efinie sur. On dit queest continue en0ssi lim xx0() =(0) - On dit queest continue surssiest continue en tout point de.

Notation :

On note() ou0() l"ensemble des fonctions continues sur l"intervalle.

Exemple 2:

Soit la fonctiond´efinie par() =

1 xsi 0

0 si?0. La fonctionest-elle continue en 0?

On remarque tout d"abord que(0) = 0et que la fonctionest d´efinie de deux fa¸cons diff´erentes autour

de 0. On ne peut pas calculer tout simplementlimx0()mais il faut faut distinguer limite `a droite et limite

`a gauche.

D"une part,lim

x0() = lim x00 = 0.

D"autre part,lim

x0+() = lim x0+1 x= 0par composition de limite.

Donclim

x0() = lim x0+() =(0), et on peut donc conclure queest continue en 0. Attention :siest continue sur [;] et est aussi continue sur [;] alorsn"est pas forc´ement

continue sur[;]. Dans la plupart de vos exercices, la continuit´e sera ´evidente presque partout mais il

y aura presque toujours au moins un point qui posera probl`eme.

Propri´et´e 4

Siest une fonction non d´efinie en0et mais poss´edant une limite finieen0alors on peut d´efinir

la fonctionpar() =() si fet(0) =et cette fonction est continue surf 0. La fonctionest appel´ee leprolongement par continuit´ede`af 0.

Remarque :

Souvent on continuera `a noterle prolongement par continuit´e de.

2 Op´erations sur les fonctions continues

Th´eor`eme 3

Soientetdeux fonctions continues sur l"intervalle. Alors : - Les fonctions+,(R), etsont continues sur. - Si de plusne s"annule pas suralors la fonction est continue sur. Analyse : Chapitre 1 Page 5 Fonctions : limites, continuit´e, d´erivabilit´e

Th´eor`eme 4

Soient () et (). Si(), alorsest continue sur.

Exemple 3:

Soit la fonctiond´efinie par() =

2++ 121

xsi 0

0 si?0.´Etudier la continuit´e de.

Grˆace aux op´erations sur les fonction continue nous allons rapidement obtenir la continuit´e desur

R . Il faudra faire une ´etude d´etaill´ee pour v´erifier queest continue en 0. Les fonctions2++ 1et2sont continues sur]0;+[et2ne s"annule pas sur ]0;+[. Donc le quotient de ces deux fonctions est une fonction continue sur]0;+[.

De plus les fonctions ?1

ettsont continues respectivement sur]0;+[etR. Par composi- tion, la fonction1/xest continue sur]0;+[. Enfin par produit, on obtient queest continue sur]0;+[. Sur]?;0[,est la fonction nulle qui est une fonction continue. Doncest continue sur]?;0[.

En 0 : tout d"abord on a(0) = 0. De pluslim

x0() = lim x00 = 0.

En0+on a :lim

x0+2++ 1 = 1etlim x0+1

21/x= 0grˆace aux croissances compar´ees. Donc on a

lim x0+() = 0.

Ainsilim

x0+() = lim x0() = 0 =(0)donccontinue en 0.

En conclusionest continue surR.

3 Quelques th´eor`emes

Th´eor`eme 5 : Th´eor`eme des valeurs interm´ediaires Soitetdeux r´eels tels que . Siest une fonction continue sur l"intervalle [] alors pour tout r´eelcompris entre les r´eels() et(), il existe un r´eel[] tel que() =. Un cons´equence tr`es int´eressante de ce th´eor`eme est le th´eor`eme suivant :

Th´eor`eme 6

L"image d"un intervalle par une fonction continue est un intervalle.

D´emonstration : Hors programme

Soitun intervalle deRetune fonction continue sur. Pour montrer que() est un intervalle, il faut monter que pour toutet´el´ements de(), on a [](). Soit doncetdeux ´el´ements de(), . Il existe doncetdanstels que() = et() =. D"apr`es le th´eor`eme des valeurs interm´ediaires, pour tout[()()] = [] il existe[]tel que() =, donc(). On a donc bien []() et() est donc bien un intervalle.

Th´eor`eme 7

Toute fonction continue sur un segment (intervalle ferm´e born´e) est born´ee et atteint ses bornes.

Notation :

Pour une fonction continue sur un segment [] on notera maxx[a,b]() le maximum de la fonctionet min x[a,b]() le minimum de la fonction. Analyse : Chapitre 1 Page 6 Fonctions : limites, continuit´e, d´erivabilit´e

4 Monotonie et continuit´e

Voici tout d"abord la version monotone du TVI :

Propri´et´e 5

Soitune fonction continue et strictement monotone sur [], . Alors pour toutcompris entre () et(), il existe un unique[] tel que() =.

D´emonstration : Hors programme

Le th´eor`eme des valeurs interm´ediaires nous donne d´ej`a l"existence de. Il reste donc `a montrer l"unicit´e. Commeest strictement monotone, elle est injective donc n´ecessairementest unique.

Le th´eor`eme suivant est souvent appel´e

th´eor`eme de bijection monotone.

Th´eor`eme 8

Soitune fonction continue et strictement monotone sur un intervalle. Alorsr´ealise une bijection de l"intervallesur l"intervalle=().

De plus la bijection r´eciproque1est continue et monotone sur, et son sens de variation est le mˆeme

que celui de.

Repr´esentation graphique :

Pour obtenir la courbe repr´esentative de la fonction1`a partir de la courbe repr´esentative de, il

faut effectuer une sym´etrie d"axe la droite d"´equation=.

D´emonstration : Hors programme

Commeest strictement monotone,est injective. De plus commeest continue, l"image de l"intervalleest un intervalle=().est bien surjective desurdonc r´ealise bien une bijection desur.

Montrons que1a le mˆeme sens de variation que.

Soit ()2. On a donc (1()1())2et si on suppose queest strictement croissante alors on peut affirmer que : si1()?1() alors?. La contra-pos´ee de cette affirmation nous donne : si alors1() 1(), c"est-`a-dire que1 est strictement croissante aussi. Grˆace au mˆeme raisonnement, on montre que siest strictement d´ecroissante alors1l"est aussi. Montrons maintenant que1est continue. On suppose ici queest strictement crois- sante, on pourra faire le mˆeme raisonnement avecstrictement d´ecroissante.

Soit0et0l"unique ´el´ement detel que0=(0).

Si0n"est pas une borne de. Pour tout 0 tel que [0?0+], on pose

1=(0?) et2=(0+), puis= min(0?12?0). On a alors :

?0?1??20??1()?0+ car1est strictement croissante sur. Et donc on a bien que1est continue en0. Si0est une borne deon effectue le mˆeme raisonnement avec des intervalles du type [00+] ou [0?0].

Ainsi1est continue sur.

Analyse : Chapitre 1 Page 7 Fonctions : limites, continuit´e, d´erivabilit´e

Exemple 4:

On consid`ere la fonctiond´efinie sur [0;1] par() = 2x. Montrer quer´ealise une bijection de [0;1] sur un ensemble que l"on d´eterminera.

Le but est ici d"appliquer le th´eor`eme de bijection monotone. Il faut bien faire attention de v´erifier

toutes les hypoth`eses. Les fonction2etxsont continue sur[0;1]donc par produitest bien continue sur[0;1]. Les fonctions2etxsont strictement croissante sur[0;1]doncest strictement croissante sur[0;1]. (On peut bien sˆur aussi calculerpour trouver le sens de variation) D"apr`es le th´eor`eme de bijection monotoner´ealise une bijection de[0;1]sur([0;1]). De plus commeest continue et croissante,([0;1]) = [(0);(1)] = [0;2]. Doncr´ealise une bijection de[0;1] sur[0;2].

Application :

On utilisera souvent ce th´eor`eme pour r´epondre `a la questionMontrer que l"´equation() =admet

une unique solution sur l"intervalle.En effet si on montre queest bijective desuret si on v´erifie

quealors on peut dire queadmet un unique ant´ec´edentet ceest bien l"unique solution de

Exemple 5:

Montrer que l"´equationx=1admet, sur ]0;+[, une unique solutionet montrer que12 1.

On remarque tout d"abord quex=1

x?1= 0. On pose alors, pour tout 0,() =x?1. - Montrons queest bijective : est la diff´erence de deux fonction usuelles toutes deux continues sur]0;+[doncest continue sur]0;+[.

Sur]0;+[les fonctionsxet ?1

sont des fonctions strictement croissantes donc par additionest strictement croissante sur]0;+[. D"apr`es le th´eor`eme de bijection monotone,r´ealise une bijection de]0;+[sur(]0;+[). Orlimx0() =?etlimx+() = +, doncr´ealise une bijection de]0;+[surR. - Montrons maintenant l"existence de: Comme0R,0admet un unique ant´ec´edent par la fonctiondans]0;+[ce qui signifie que l"´equation() = 0admet une unique solutionappartenant `a]0;+[. - Encadrons alors: On a(12) =1/2?2et(1) =?1. Or1 2donc(1)0et(12)0. On a donc (12)0 (1)

1((12)) 1(0) 1((1))car1est strictement croissante

1 2 1

On a bien

1 2 1.

IV D´erivabilit´e

1 D´efinition

D´efinition 3

Soit: Ravec Ret soit0 . On dit que la fonctionestd´erivable en0ssi la fonction ()?(0) ?0poss`ede une limite finie en0. Cette limite est alors appel´eenombre d´eriv´ede en0et est not´ee(0). Analyse : Chapitre 1 Page 8 Fonctions : limites, continuit´e, d´erivabilit´e

Remarques :

- Pour pouvoir d´efinir la d´eriv´ee en0de, il faut donc que()?(0)?0soit d´efinie au voisinage

de0et donc quesoit d´efinie au voisinage de0. -est d´erivable en0´equivaut aussi `a dire que(0+)?(0) admet une limite finie en 0.

Exemple 6:

On consid`ere la fonctiond´efinie par() =

1 x2si= 0

0 si= 0. La fonctionest-elle d´erivable en 0?

On a ici(0) = 0, donc, pour= 0,()?(0)

?0=1/x2.

Grˆace aux croissances compar´ees, on a lim

x01

1/x2= 0.

Doncest d´erivable en 0 et on a(0) = 0.

D´efinition 4

On dit qu"une fonctionestd´erivable sur l"intervallessi elle est d´efinie suret si elle est d´erivable

en tout0. On appelle alorsfonction d´eriv´ee de, et on note, la fonction qui `a tout0de associe le nombre d´eriv´e(0).

Th´eor`eme 9

Si une fonctionest d´erivable en0alorsest continue en0

Remarque :

La r´eciproque n"est pas vraie : la fonction valeur absolue est continue en 0 mais pas d´erivable en 0.

2 D´eriv´ee `a droite, d´eriv´ee `a gauche

D´efinition 5

Soit: Ret soit0 . On dit queestd´erivable `a gauche en0(resp.d´erivable `a droite en0) si la fonction()?(0) ?0admet une limite `a gauche en0(resp. une limite `a droite en

0). Cela ´equivaut aussi `a dire que la restriction de`a ]? ;0] (resp. `a [0;+[) est d´erivable en

0. On noteg(0) etd(0) les d´eriv´ees `a gauche et `a droite en0.

Exemple 7:

La fonction est d´erivable `a gauche et `a droite en 0 etg(0) =?1 etd(0) = 1.

Propri´et´e 6

Soit: Ret soit0 tel qu"il existe un intervalle ouvert contenant0et contenu dans. Alorsest d´erivable en0ssiest d´erivable `a gauche et `a droite en0etg(0) =d(0).

Exemple 8:

On consid`ere la fonctiond´efinie par() =

2lnsi 0

0 si?0.est-elle d´erivable en 0?

On a ici(0) = 0. Commen"est pas d´efinie de la mˆeme fa¸con `a droite et `a gauche de 0il faut ici se

servir de la proposition ci dessus et donc on va s"int´eresser `a la d´erivabilit´e `a droite puis `a gauche.

Si 0,()?(0)

?0= 0doncest d´erivable `a gauche en 0 etg(0) = 0. Analyse : Chapitre 1 Page 9 Fonctions : limites, continuit´e, d´erivabilit´e

Si 0,()?(0)?0=ln. Or on sait quelim

x0+ln= 0doncest d´erivable `a droite en 0 et on ad(0) = 0

On a donc queest d´erivable `a droite et `a gauche etg(0) =d(0) = 0donc (grˆace `a la proposition

ci dessus)est d´erivable en 0 et(0) = 0.

3 Op´erations sur les d´eriv´ees

Th´eor`eme 10

Soientetdeux fonctions d´efinies sur un mˆeme intervalleet d´erivables sur cet intervalle. Alors :

-+est d´erivable suret (+)=+ - pour toutR,est d´erivable suret ()= -est d´erivable suret ()=+ - si de plus= 0 suralors est d´erivable suret =?2

Th´eor`eme 11

Soientetdeux intervalles deR,:Ret:R. On suppose que(). Siest d´erivable suretest d´erivable suralorsest d´erivable suret

Remarque :

Pour montrer qu"une fonction est d´erivable sur un intervalle donn´e, la r´edaction suit donc le mˆeme

sch´ema que la continuit´e.

Th´eor`eme 12

Soit:une fonction bijective de l"intervallesur l"intervalleet1sa bijection r´eciproque. Siest d´erivable suret sine s"annule pas suralors1est d´erivable suret : (1)=1 1

Remarque :

On voit ici queet (1)ont donc le mˆeme signe.

4 D´eriv´ees usuelles

- D´eriv´ee des fonctions usuelles :

Rsi?0,R+ouRsi 0(Z)nn1

R+1 2

R+(R)αα1

R+ouRln1

Rxx

R( 0)xlnx

Analyse : Chapitre 1 Page 10 Fonctions : limites, continuit´e, d´erivabilit´e - Compos´ee de fonctions : Soitune fonction d´erivable sur un ensemble. Alors pour tout on a : (Attention aux endroits o`us"annule si n´ecessaire...) (())α(R)()(())α1 u(x)()u(x) ln(())() 2() 1 ()?()(())2

5 D´eriv´ees et sens de variation

Th´eor`eme 13

Soitune fonction d´erivable sur un intervalle. Alors : - la fonctionest croissante surssi?0 sur. - la fonctionest d´ecroissante surssi?0 sur. - la fonctionest constante surssi= 0 sur.

Propri´et´e 7

Soitune fonction d´erivable sur un intervalle. La fonctionest strictement croissante (resp. stric-

tement d´ecroissante) surssi?0 (resp.?0) suret il n"existe aucun intervalle non r´eduit `a un point tel que= 0 sur cet intervalle.

6 Tangente

Soit:R, o`uest un intervalle deR. On munit le plan d"un rep`ere () et on appellela courbe repr´esentative dedans ce rep`ere.

Th´eor`eme 14

Soit0. Siest d´erivable en0alorsposs`ede une tangente au point d"abscisse0et cettequotesdbs_dbs33.pdfusesText_39