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Biostatistique

Faculte de Medecine Paris 6

Novembre 2008

Sommaire

Probabilites

Statistique

Plan

Probabilites

Elements de probabilites

Statistique

Elements de probabilites I

Probabilite conditionnelle:P(A=B) =P(A\B)P(B)Theoreme de la multiplication:P(A\B) =P(A=B)P(B) =P(B=A)P(A)Formule de Bayes:P(A=B) =P(B=A)P(A)P(B)Theoreme de Bayes:P(Ai=B) =P(B=Ai)P(Ai)P(B=A1)P(A1)++P(B=An)P(An)

Elements de probabilites IIM

MSVPFP

SFNVNI

Prevalence :P(M)

I

Sensibilite :Se=P(S=M)'VPVP+FN

I

Specicite :Sp=P(S=M)'VNVN+FP

IValeur predictive positive :

VPP=P(M=S) =

S eP(M)S eP(M)+(1Sp)(1P(M))'VPVP+FP

IValeur predictive negative :

VPN=P(M=S) =

S

p(1P(M))(1Se)P(M)+Sp(1P(M))'VNVN+FNAttention : (1) si groupes de malades et de non-malades constitues separement alors calcul de Se et Sp, mais pas

VPP ni VPN ; (2) si groupes de T+ et de T- constitues separement alors calcul de VPP et VPN, mais pas Se ni Sp

; (3) si groupe unique representatif, on peut tout estimer. Plan

Probabilites

Statistique

Denitions

Lois

Intervalles de pari et de conance

Tests de comparaison

Denitions I

I Une variable aleatoire X est une variable observable au cours d'une experience et dont la valeur peut varier d'une experience a l'autre de facon non previsible. I

On note=E(X), l'esperancede X, appelee encore

moyenne\vraie". I

On note2=E((X)2), lavariancede X.

I On appellefonction de repartition:F(x) =P(X6x),x2 < si X discrete, alorsF(X) =P x i6xP(X=xi) I

Variable centree reduite :Y=X

Denitions II

V.A. discrete:

I

Moyenne :m=1n

P n i=1xi I

Esperance :=Pn

i=1xiP(X=xi) I

Variance observee :s2=nn1(1n

P n i=1(x2im2)) I

Variance vraie :2=Pn

i=1(xi)2P(X=xi)

V.A. continue:

I

Moyenne :m=1n

P n i=1xi I

Esperance :=R+1

1x f(x)dx

I

Variance observee :s2=nn1(1n

P n i=1(x2im2)) I

Variance vraie :2=R+1

1(x)2f(x)dx

Lois I

Loi de Poisson

I Valable pour des evenements independants et faiblement probables. I P(X=k) =kk!eouk= nbre d'apparitions de l'evenement. I

P(X= 0) =p)=ln(p)

I

On a :=et2=

I

SiX=P(1) etY=P(2) alorsZ=X+Y=P(1+2)

Loi de Bernoulli

I Experience a deux resultats 0 (\echec") ou 1 (\succes"). I

P(X=\succes") =P(X= 1) =

I

P(X=\echec") =P(X= 0) = 1

I

On a := et2= (1)

Lois II

Loi binomiale

I Epreuves independantes et repetees d'une experience de

Bernoulli.

I

P(X=k pour nessais) =n!k!(nk)!k(1)nkouk= nbre

de succes. I

On a :=n et2=n(1)

Loi normale

I f(x) =1 p2e12 (x)2

2=N(;)

I

95% des valeurs sont comprises dans l'intervalle [2]

Intervalles de pari et de conance

Theoreme central limite

Sin>30 alorsMn N(;2n

) ou encoreMnpn N(0;1)

Soit un echantillon de taillen, un risque:

Intervalle de pari:IP

1=h upn ;+upn iIntervalle de conance:IC 1=h muspn ;m+uspn idoit verier :n(muspn )>5 etn(1(m+uspn ))>5.

Tests de comparaison

1.

D enirl esh ypothesesd ontl 'hypothesen ulleH0.

Exemple pour une comparaison de deux proportions : H

0: A= BetH1: A6= B

2.

C alculd upa rametre: z=PAPBr

(1~)n

A+~(1~)n

B I ~ =nAPA+nBPBn

A+nBest l'estimation de sousH0.

Iz N(0;1) sousH0si :

n

A~>5,nB~>5,nA(1~)>5 etnA(1~)>5.

IL'intervalle de pari est alors :IP0;95= [1;96; +1;96]. 3.

C onclusion:

I z=2IP0;95, alors on rejetteH0d'ouH1avec un risque de

0,05%.

Iz2IP0;95alors on ne rejette pasH0.

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