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Cours de mathématiques ECS1èreannée
Nouveau programme 2013
BÉGYN Arnaud
18/01/2014
ECS1.1, Lycée Fermat Toulouse. http://mathcpge.org/2 IntroductionCe manuscrit regroupe des notes de cours de mathématiques pour une classe d"ECS pre- mière année. J"ai écris ces notes lors de mes enseignements au lycée Fermat pendant les années 2010-?. Ce document n"est absolument pas figé et va beaucoup évoluer.N"hésitez pas à m"envoyer toutes vos remarques et critiques ou à me signaler d"éventuelles erreurs à l"adresse "ar- naud.begyn@prepas.org". Vous pouvez utiliser ce cours à toutes fins utiles, à condition de signaler son auteur et son origine. Les mises à jour sont disponibles sur le site http ://mathcpge.org/. 3 ECS1.1, Lycée Fermat Toulouse. http://mathcpge.org/4 Table des matières1 Logique- Théorie des ensembles15
1 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15
2 Logique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16
3 Ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19
3.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2 Opérations sur les ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 22
3.3 Produits cartésiens et familles d"éléments . . . . . . . . . .. . . . . . . . 25
4 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 27
4.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.2 Loi de composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29
4.3 Injection, surjection, bijection . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 30
4.4 Fonctions caractéristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 34
4.5 Images directe et réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 35
5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 36
2 Dénombrement et calculs de sommes39
1 Ensemblede nombres usuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 39
2 Ensemblesfinis - Dénombrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 39
2.1 Ensembles finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2 Dénombrement des ensembles finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 41
2.3 Dénombrement des applicationsentre ensembles finis . . .. . . . . . . 42
2.4 Coefficients binômiaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 44
2.5 Techniques de dénombrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 45
3 Calculs de sommes et de produits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 47
3.1 Sommes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.2 Sommes usuelles à connaître . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 48
3.3 Formule du binôme de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.4 Sommes doubles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.5 Généralisation des formules de dénombrement . . . . . . . . .. . . . . . 51
3.6 Produits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 54
3 Nombres complexes57
1 Propriétés des nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 57
1.1 Constructionrapide deC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
1.2 Notions de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
1.3 Rappels de trigonométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 59
1.4 Forme trigonométriqued"un nombre complexe . . . . . . . . . .. . . . . 62
1.5 Applications des formules de De Moivre et d"Euler . . . . . .. . . . . . . 63
2 Équations polynômialescomplexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 64
5
TABLE DES MATIÈRES
2.1 Racinesnièmesd"un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.1.1 Racinesnièmesde l"unité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.1.2 Racinesnièmesd"un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . 66
2.2 Équations du second degré à coefficients réels . . . . . . . . .. . . . . . . 67
3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 69
4 Suitesréelles71
1 Propriétés générales de suites réelles . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 71
1.1 Rappels sur les propriétés deR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
1.1.1 Relation d"ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
1.1.2 Valeur absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
1.1.3 Intervalles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
1.1.4 Partie entière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
1.2 Les suites réelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 73
1.3 Propriétés des suites réelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 74
2 Limite d"une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 75
2.1 Suites convergentes - Suites divergentes . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 75
2.2 Propriétés des suites convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 77
2.3 L"ensemble
R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
2.4 Théorèmes généraux sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 78
2.5 Suites d"indices pairs et impairs . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 80
2.6 Bornes supérieure et inférieure dansR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
2.7 Propriétés des suites monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 82
3 Exemples de suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 83
3.1 Suites arithmétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 83
3.2 Suites géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 84
3.3 Suites arithmético-géométriques. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 85
3.4 Suites récurrentes linéaires d"ordre 2 . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 85
4 Comparaisondes suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 87
4.1 Notations de Landau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .87
4.2 Suites équivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 88
4.3 Comparaisondes suites usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 91
5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 93
5 Calcul matriciel et systèmeslinéaires99
1 L"espaceMnp(K) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
1.2 Opérations dansMnp(K) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
1.3 Matrices élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 103
2 Produit matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 104
2.1 Produit d"une matrice par un vecteur colonne . . . . . . . . . .. . . . . . 104
2.2 Cas général : produit de deux matrices . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 104
2.3 Produit matriciel et matrices carrées . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 107
2.4 Matrices carrées inversibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 110
3 Transposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 112
3.1 Premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 112
3.2 Matrices symétriques et antisymétriques . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 113
4 Systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 114
4.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
4.2 Le pivot de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
ECS1.1, Lycée Fermat Toulouse. http://mathcpge.org/6
TABLE DES MATIÈRES
4.3 Rang et résolutiond"un système linéaire . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 119
4.3.1 Résolutiondes systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . .. . 119
4.3.2 Rang d"un système linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
4.3.3 Rang et systèmes linéaires échelonnés . . . . . . . . . . . . .. . 121
4.4 Matrices inversibles et systèmes linéaires . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 122
5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 124
6 Espaces probabilisés finis127
1 Vocabulaire et axiomatiquedes probabilités . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 127
1.1 L"univers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
1.2 Évènements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
1.3 Opérations sur les évènements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 129
1.4 Système complet d"évènements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 130
2 Probabilitésur un espace probabilisable . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 131
2.1 Probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .131
2.2 Constructionde probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 133
3 Probabilitésconditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 134
3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
3.2 Formule des probabilités composées . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 135
3.3 Formule des probabilités totales . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 136
3.4 Formule de Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
4 Indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 139
4.1 Indépendance de deux évènements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 139
4.2 Indépendance mutuelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 140
4.2.1 Propriétés de l"indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .141
4.3 Complémentssurlaformuledesprobabilitéstotales:propriétédeMarkov141
5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 143
7 Généralitéssur les fonctions numériques147
1 Étude d"une fonction réelle d"une variable réelle . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 147
1.1 Fonction réelle d"une variable réelle . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 147
1.2 Ensemble de définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .147
1.3 Représentation graphiquedef. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
1.4 Monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
1.5 Extremums d"une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 152
2 Fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 154
2.1 Fonction racinen-ième . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
2.2 Fonctions trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 155
2.3 Fonctions logarithmeset exponentielles . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 156
2.4 Fonctions puissances réelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 159
2.5 Fonctions logarithmeset exponentiellesen basea. . . . . . . . . . . . . 160
2.6 Croissances comparées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 161
3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 162
8 Limiteset comparaison des fonctions numériques 165
1 Limite en un point de
R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
1.1 Voisinages d"un point de
R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
1.2 Limite finie en un pointx0?R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
1.3 Limite infinie en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 168
1.4 Limite finie/infinie en±∞. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
ECS1.1, Lycée Fermat Toulouse. http://mathcpge.org/7
TABLE DES MATIÈRES
1.5 Extensions dans le cas d"une limite finie . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 172
1.6 Unicité de la limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 172
2 Théorèmes généraux sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 173
2.1 Opérations algébriques sur les limites . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 173
2.2 Compositionde limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 174
2.2.1 Fonction composée de deux fonctions . . . . . . . . . . . . . . .174
2.2.2 Suite composée d"une suite et d"une fonction . . . . . . . .. . . 174
2.3 Limites et inégalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 175
2.3.1 Limite et inégalités locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 175
2.3.2 Calculs de limitespar inégalité . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 176
2.4 Limites des fonctions monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 176
3 Comparaisonde fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 178
3.1 Fonctions équivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 178
3.2 Équivalents usuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 181
3.3 Notations de Landau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .182
3.4 Croissances comparées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 184
4 Développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 184
4.1 Développement limité d"ordrenen un pointx0?
R. . . . . . . . . . . . . 184
4.2 Développements limités usuels en 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 185
4.3 Opérations sur les développements limités . . . . . . . . . . .. . . . . . . 187
4.4 Développements limités et recherche de fonction équivalente . . . . . . 189
5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 190
9 Polynômes193
1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 193
1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
1.2 Opérations sur les polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 195
1.3 Parité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
2 Racines d"un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 197
2.1 ArithmétiquedansK[X] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
2.2 Racines d"un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .198
2.3 Théorème de d"Alembert-Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 199
3 Formulede Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 200
3.1 Dérivée d"un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .200
3.2 Formule de Leibnitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .202
3.3 Formule de Taylor et application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 202
4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 203
10 Variables aléatoiresdiscrètes205
1 Variablesaléatoires discrètes finies . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 205
1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
1.2 Évènements associés à une VARD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 206
1.3 Loi de probabilité d"une VARD finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 207
1.4 Fonction de répartitiond"une VARD finie . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 208
1.5 Transfert de loi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .210
2 Espérance mathématiqued"une VARD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 211
2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
2.2 Théorème de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 212
2.3 Variance d"une VARD finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 213
3 Lois usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 214
ECS1.1, Lycée Fermat Toulouse. http://mathcpge.org/8
TABLE DES MATIÈRES
3.1 Loi certaine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
3.2 Loi uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
3.3 Loi de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .216
3.4 Loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 219
11 Introduction auxespaces vectoriels223
1 Généralités sur les espace vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 223
1.1 Espace vectoriel surK. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
1.2 Sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 225
2 Familles de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 226
2.1 Combinaisonslinéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 226
2.2 Sous-espace vectoriel engendré par une famille de vecteurs . . . . . . . . 227
2.3 Familles génératrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 228
2.4 Familles libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 229
2.5 Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 234
12 Séries numériques237
1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 237
1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
1.2 Propriétés des séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 239
2 Séries à termes positifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 241
2.1 Règles de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .241
2.2 Convergence absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .244
3 Séries de référence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 245
3.1 Séries de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
3.2 Séries géométriqueset leurs dérivées . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 246
3.3 Séries exponentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 247
3.4 Méthodologiepour étudier la nature d"une série . . . . . . .. . . . . . . 248
4 Produit de séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 248
5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 249
13 Espaces probabilisés quelconques253
1 Vocabulaire et axiomatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 253
1.1 L"univers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
quotesdbs_dbs33.pdfusesText_39
[PDF] Annexe 1 Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles