Proposition de corrigé du TD 3 EXERCICE 1 Interpolation de Lagrange Soit x0, x1, , xn, n + 1 points distincts a Soit (Li)i=0,n n + 1 fonctions de Pn vérifiant
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L2 Maths, UE d'Analyse numérique Feuille de TD 1 - Correction : Interpolation de Lagrange Exercice 1 (Identification) On considère x, y ∈ R4 donnés par : x
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Autrement dit, connaissant Pn1 , il suffit de calculer an pour connaître Pn a) Montrer que le polynôme d'interpolation de Lagrange de la fonction f aux points
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Proposition de corrigé du TD 3 EXERCICE 1 Interpolation de Lagrange Soit x0, x1, , xn, n + 1 points distincts a Soit (Li)i=0,n n + 1 fonctions de Pn vérifiant
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Montrez par récurrence que Pk,j avec k ≥ j est le polynôme d'interpolation de Lagrange pour les points x0, x1, , xj−1, xk 3 Qu'en concluez-vous pour Pk,k ?
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Exercice 3 Avec quelle précision peut-on calculer √ 115 `a l'aide de l' interpolation de Lagrange, si on prend les points : x0 = 100, x1 = 121, x2 = 144 Corrigé :
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Le polynôme d'interpolation par Lagrange est donné par : pn(x) = n ∑ i=0 f(xi)Li( x) où les (n + 1) fonctions Li(x) sont définies par : Li(x) = (x - x0)···(x - xi-1)(x
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les points ti = i/n, i = 0,1, ,n, `a l'aide du polynôme d'interpolation de Lagrange de degré n Expliquer le résultat 2 Même question pour la fonction g(t) = tn+1
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2 juil 2010 · [3 pt] Construire le polynôme de Lagrange P qui interpole les points (0, 2), (1, 1), (2, 2) et (3, 3) Exercice ƒ : interpolation polynomiale [2 pt] [2 pt]
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Exercices corrigés NB : Les exercices corrigés ici sont les exercices proposés durant les et li(x), polynôme de Lagrange nécessaire pour l'interpolation
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Universit´e de Nice Sophia-Antipolis
Licence L3 Math´ematiques Ann´ee 2008/2009Analyse Num´eriqueProposition de corrig´e du TD 3EXERCICE 1
Interpolation de Lagrange
Soitx0, x1, ..., xn,n+ 1points distincts.
a. Soit(Li)i=0,nn+ 1fonctions dePnv´erifiantLi(xj) =δij. Montrer que (Li)i=0,nest une base dePn(ensemble des polynˆomes de degr´e inf´erieur ou´egal `an). Construire cette base.
(Li)i=0,nest une base dePn •On a (Li)i=0,n? Pn. •On aCard? (Li)i=0,n? =n+ 1 =dimPn. •Soit (ai)i=0,n?Rtels que n? i=0a iLi(x) = 0.Donc 0 =
?n i=0aiLi(xj) =ajpour chacun desj? {0,...,n}, ou encoreaj= 0 pour chaquej. D"o`u la famille (Li)i=0,nest libre.Par suite la famille (Li)i=0,nest une base dePn.
Construction de la base(Li)i=0,nSoiti? {0,...,n}. Pour toutj? {0,...,n}j?=i, Li(xj) = 0. Donc L i(x) =ciΠnj=0,j?=i(x-xj).DeLi(xi) = 1, on d´eduit
c i=1Π nj=0,j?=i(xi-xj). D"o`u L i(x) =Πnj=0,j?=i(x-xj)Π nj=0,j?=i(xi-xj)= Πnj=0,j?=i?x-xjx i-xj? b. Soitpn? Pnv´erifiant :pn(xi) =f(xi)?i= 0,...,n. D´ecomposerpnsur la base des(Li)i=0,n. Un telpnest-il unique? 1Universit´e de Nice Sophia-Antipolis
Licence L3 Math´ematiques Ann´ee 2008/2009D´ecomposition depnsur la base(Li)i=0,nOn a p n(x) =n? i=0a iLi(x) avecaj?R.Depn(xj) =f(xj)?j= 0,...,n, on obtient
p n(x) =n? i=0f(xi)Li(x).Unicit´e depn
Soientpn, qn? Pntels quepn(xi) =f(xi)?i= 0,...,netqn(xi) =f(xi)?i= 0,...,n. n´ecessairementr= 0. c. ´Ecrire le polynˆome d"interpolation associ´e aux points donn´es dans le tableau suivant :x i-1-1/201/21 f(xi)-3/201/400Tab.1 - Tableau pour l"interpolation.
On a p4(x) =f(x0)L0(x) +f(x1)L1(x) +f(x2)L2(x) +f(x3)L3(x) +f(x4)L4(x),
=-32L0(x) +14
f(x2)L2(x). o`u L0(x) =(x+12
)x(x-12 )(x-1)(-1 +12 )(-1-0)(-1-12 )(-1-1)=x4-x3-14 x2+14 x3 2 L2(x) =(x+ 1)(x+12
)(x-12 )(x-1)(0 + 1)(0 + 12 )(0-12 )(0-1)=x4-54 x2+141 4 D"o`u p4(x) =-32
x4-x3-14
x2+14 x3 2 14 x 4-54 x2+141 4 =x3-x2-14 x+14 2Universit´e de Nice Sophia-Antipolis
Licence L3 Math´ematiques Ann´ee 2008/2009d. ´Etablir la majoration d"interpolation de Lagrangei.e.sif? Cn+1([a,b]), alors il existeξ?]a,b[tel que f(x)-pn(x) =Πnj=0(x-xj)(n+ 1)!f(n+1)(ξ).(1.1) •Six=xj?j= 0,...,n, alorsf(x)p(x) = 0, et toutξ?]a,b[ convient. •Six?=xj?j= 0,...,n, alors d´efinissonsφ(t) =f(t)-p(t)-k(x) Πnj=0(t-xj),?t?[a,b],
o`uk(x) est choisi de telle sorte queφ(x) = 0.D"une part, on en d´eduit que
k(x) =f(x)-p(x)Π nj=0(x-xj).(1.2) D"autre part, la fonctiont?→φ(t) est de classeCn+1([a,b]) admet (n+2) racinesdistinctes x, x0, x1, ..., xnsur ]a,b[. D"apr`es le th´eor`eme de Rolle :
t?→φ?(t) est de classeCn([a,b]) admet (n+ 1) racinesdistinctessur ]a,b[, appartenant chacune entre les intervalles ouverts d"extr´emit´es dex, x0, x1, ..., xncontenus dans ]a,b[.Par application du th´eor`eme de Rolle,
t?→φ(2)(t) est de classeCn-1([a,b]) admetnracinesdistinctessur ]a,b[. Par application du th´eor`eme de Rolle une nouvelle fois, t?→φ(3)(t) est de classeCn-2([a,b]) admetn-1 racinesdistinctessur ]a,b[.Ainsi de suite, par application du th´eor`eme de Rolle,t?→φ(n+1)(t) est de classeC0([a,b])
admet une racineξ?]a,b[,φ(n+1)(ξ) = 0.Puisquepn? Pn, on ap(n+1)n= 0 et
0 =φ(n+1)(ξ) =f(n+1)(ξ)-(n+ 1)!k(x).(1.3)
Donc de (1.2) et (1.3) on tire,
k(x) =f(x)-p(x)Π nj=0(x-xj)=f(n+1)(ξ)(n+ 1)!.D"o`u le r´esultat.
e. Soientf(x) = cos(x)etg(x) =e3xd´efinies sur[0,1]. Estimer le nombre minimum de points pour que l"erreur entre la fonction et son polynˆome d"in- terpolation de Lagrange soit inf´erieure `a0.1,0.01et0.001. 3Universit´e de Nice Sophia-Antipolis
Licence L3 Math´ematiques Ann´ee 2008/2009Nombre de points mimimum pour satisfaire une tol´eranceεdonn´ee