[PDF] Examen du 5 Janvier Splines cubiques 1 A propos de linterpolation PDF devoir

2 Existence et unicité de la spline cubique contrainte interpolante Corrigé 1 A propos de l'interpolation de Hermite 1 Comme R3[X] et R4 ont la même

ln(x + 2) Ln1(x) 2 10 Exercice 6 Splines cubiques Dans cet exercice, nous souhaitons interpoler une fonction f 2 C 2([a, b], R)

[PDF] Interpolation Exercice 1 Exercice 2 Exercice 3 Exercice 4 Exercice 5

Trouver la fonction spline cubique f qui interpole ces données et qui vérifie les conditions f (15) = f (50) = 0 Exercice 8 Soit une fonction f que l'on cherche à

[PDF] Réponses aux exercices du chapitre 5

Le polynôme d'interpolation par Lagrange est donné par : pn(x) = n ∑ i=0 f(xi)Li( x) b) À l'aide de la spline trouvée en a), donner une approximation de f(1 2 )

[PDF] Examen du 5 Janvier Splines cubiques 1 A propos de linterpolation

2 Existence et unicité de la spline cubique contrainte interpolante Corrigé 1 A propos de l'interpolation de Hermite 1 Comme R3[X] et R4 ont la même

[PDF] Interpolation et splines - Thomas Rey

TD1 : Interpolation et splines Interpolation Exercice 1 (Différences divisées) Soient x0,x1, ,xn des points distincts d'un intervalle I, et f,g et h des applications

[PDF] feuille dexercices n˚7

2) Déterminer la forme du polynôme d'interpolation de Newton coïncidant avec f Exercice 3 : Convergence de l'interpolation de Lagrange Pour construire une telle approximation, nous cherchons à définir une spline S en fonction de ses

[PDF] Exercices corrigés

NB : Les exercices corrigés ici sont les exercices proposés durant les séances de cours Calculer le polynôme d'interpolation L passant par ces trois points 14 spline cubique S interpolant ces points coïncide sur chaque intervalle [xi,xi+1]

[PDF] Exercices avec corrigé succinct du chapitre 5 - UTC - Moodle

Calculer l'erreur commise en interpolant la fonction f(t) = tn, définie sur l'intervalle [0,1], en les points ti = i/n, i = 0,1, ,n, `a l'aide du polynôme d'interpolation de

[PDF] Évaluation 1 Exercice 1* (Spline cubique dinterpolation)

26 nov 2014 · Interpolation polynomiale par morceaux/splines cubiques Le but de cet exercice est de construire la spline d'interpolation Π définie par les

[PDF] Recueil dexercices pour les cours MTH2210x - MTH2210A

de la spline cubique aux points d'interpolation) et n−1 équations Pour obtenir une solution unique, il faut ajouter deux équations Quelles seraient ces deux

Option B : Examen du 5 Janvier

Splines cubiques

Il est important de rédiger de façon claireETsynthétique.

On peut bien entendu admettre le résultat de n"importe quelle question pour passer à la suivante.PARTIE THÉORIQUE1 A propos de l"interpolation de Hermite

On se donne deux points distinctsxg< xdainsi que quatre réelsyg;yd;zgetzd. 1.

Montrer que l"application linéaire

:R3[X]7!0 B

B@p(xg)

p 0(xg) p(xd) p

0(xd)1

C CA;

est bijective, où on rappelle queR3[X]est l"ensemble des polynômes à coefficients réels de degré inférieur

ou égal à3.

En déduire qu"il existe un unique polynôme de degré inférieur ou égal à3vérifiant

8>>>< >>:p(xg) =yg; p(xd) =yd; p

0(xg) =zg;

0(xd) =zd:

Ce polynôme est appelé le polynôme d"interpolation de Hermite pour ces données. 2. Donner une e xpressione xplicitede pen fonction des données. On pourra chercherpsous la forme p(x) =q0(x) + (xxg)(xxd)q1(x);

oùq0etq1sont des polynômes de degré inférieur ou égal à1que l"on déterminera, par exemple, dans la

base des polynômesxxgetxxd. 3. Montrer qu"il e xisteune constante uni verselleC >0(i.e. indépendante desx;yetz) telle qu"on ait sup x2[xg;xd]jp(x)j C(jygj+jydj) +Cjxdxgj(jzgj+jzdj): 4. Calculer p00(xg)etp00(xd)en fonction dexg;xd;yg;yd;zg;zd. 5.

Soit maintenant fune fonction de classeC4. On suppose que les données d"interpolation sont définies par

y g=f(xg);yd=f(xd);zg=f0(xg);etzd=f0(xd): Montrer que dans ces conditions, le polynôme de Hermitepvérifie l"estimation d"erreur suivante

8x2[xg;xd];92]xg;xd[;tel quef(x)p(x) = (xxg)2(xxd)2f(4)()4!

En déduire que

sup [xg;xd]jfpj jxdxgj4kf(4)k1384

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2 Existence et unicité de la spline cubique contrainte interpolante

On se donne des pointsx1< ::: < xnéqui-distants ainsi quenvaleursy1;:::;yn, et deux autres réelszdetzn.

On noterahle pas de la subdivision, i.e.xi+1xi=hpour touti.

Le but de cette partie est de démontrer le résultat suivant : il existe une unique fonction: [x1;xn]!R

vérifiant est de classeC2sur[x1;xn], (P1) interpole les valeurs données, i.e.(xi) =yi;8i= 1;:::;n. (P2)

La restriction deà chaque intervalle[xi;xi+1]est un polynôme de degré inférieur ou égal à3. (P3)

0(x1) =z1;et0(xn) =zn:(P4)

Une fonction vérifiant (P1),(P2) et (P3) est appelée une spline cubique interpolante. Si de plus, elle vérifie une

condition du type (P4), elle est ditecontrainte. 1.

Montrer qu"une telle fonction est complètement déterminée par la connaissance des((xi))1inet des

(0(xi))1in.

Par hypothèse, les valeurs deaux noeuds sont connues, on va donc chercher dans la suite à déterminer

les valeurs que0doit prendre en ces noeuds pour vérifier toutes les conditions demandées. 2.

Soient donc z1;z2;:::;zn1;znles valeurs de0aux noeuds à déterminer (la première et la dernière sont

en fait des données du problème).

Ecrire les équations (dépendant deh) que doivent vérifier les(yi)iet les(zi)ipour que la fonction

associée soit de classeC2. 3.

Ecrire ces équati onssous la forme d"un système linéaire carré de taille n2notéAZ=GoùZ=

(z2;:::;zn1)et oùGest un second membre dépendant des donnéesy1;:::;ynetz1;znque l"on explicitera.

4. Montrer que si ce système admet une solution alors on a l"estimation kZk1= max2in1jzij jz1j2 +jznj2 + 3 max2in1 y i+1yi12h On pourra s"intéresser à un indice2in1pour lequeljzij=kZk1, et regarder l"équation correspondante du systèmeAZ=G. 5. En déduire que le problème AZ=Gadmet une unique solution et que celle-ci vérifie kZk14kf0kL1(]a;b[): Conclure enfin à l"existence et unicité de la spline cubique contrainte interpolante pourf.

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Agrégation Externe de Mathématiques UPS - 2015/2016 PARTIE NUMÉRIQUE3 Mise en oeuvre et expérimentations numériques

On reprend ici les notations précédentes. On se donne un intervalle[a;b]deRet une fonctionfde classeC4

sur[a;b]. On suppose que la discrétisation est choisie de sorte quex1=aetxn=b, et donc que h=ban1:

On pose maintenant

y i=f(xi);8i2 f1;:::;ng;etz1=f0(x1); zn=f0(xn):

On souhaite calculer en Scilab la spline cubique interpolantecorrespondant à ces données et évaluer numérique-

ment l"erreur d"interpolation entrefet(resp. enf0et0) en fonction du pas de la discrétisation.

Plus précisément, on admet qu"on peut démontrer (ce n"est pas demandé ici) que l"on a les estimations sui-

vantes (pour unC >0indépendant deh, donc den) max

1injf0(xi)0(xi)j Ch4;(E1)

kf00kL1(]a;b[)Ch3;(E2) kfkL1(]a;b[)Ch4:(E3) 1. Ecrire une fonction Scilab function[Y,Z]= parametres_spline (a,b,n,f,f_prime) endfunction qui, à partir de la donnée dea,b,f,f0etncalcule les valeurs((xi))1inet(0(xi))1inde la spline

cubique interpolanteet de sa dérivée aux points d"interpolation équirépartis sur[a;b]. On utilisera la

méthode décrite dans la question II.3. 2.

Illustrer numériquement s urun e xemple,à l"aide d"une courbe en échelle log arithmique,l"e stimation( E1).

On pourra par exemple choisira= 0;b= 1etf(x) = sin(10x+ 1), mais tout autre exemple (non trivial) peut tout à fait convenir. 3. Ecrire une fonction Scilab function[i]= indice (a,b,n,x) endfunction qui poura;b;netx2]a;b[donnés, calcule l"unique indicei2 f1;:::;n1gtel quex2[xi;xi+1[. 4. Ecrire deux fonctions Scilab function[val_pi]= valeur_spline (a,b,n,Y,Z,x) endfunction function [val_pi_prime]= valeur_derivee_spline (a,b,n,Y,Z,x) endfunction qui poura;b;n;Y;Zetx2]a;b[donnés, calculent respectivement les valeurs(x)et0(x)de la spline

cubique pour les données d"interpolationY= (y1;:::;yn)etZ= (z1;:::;zn)et de sa dérivée au pointx.

Pour tester numériquement les estimations ( E2), (E3) on est confrontés à la difficulté de l"estimation de la

normeL1de la différence de deux fonctions. Pour ce faire on utilise la méthode aléatoire suivante

Choisir un entier M >0suffisamment grand.

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T ireraléatoirement

1Mpoints choisis selon la loi uniforme sur[a;b]et notésxk,k= 1;:::;M(ne pas

confondre avec les points d"interpolationx1;:::;xn). On décide alors d"estimer la norme infinie d"une fonction g par kgk1max1kMjg(xk)j: Programmer deux fonctions Scilabfunction[erreur]= erreur_spline (a,b,f,f_prime,n,M) endfunction function [erreur]= erreur_derivee_spline (a,b,f,f_prime,n,M) endfunction qui poura;b;f;f0;netMdonnés, renvoient respectivement une estimation dekfk1et dekf00k1 calculées par la méthode précédente.

Illustrer à l"aide de courbes logarithmiques les estimations d"erreur (E2),(E3). On fixera par exempleM=

5000, ce qui suffira pour des valeurs deninférieures à100par exemple.1. La commande Scilaba+(b-a)*rand([1:M])permet de faire cela

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Corrigé

1 A propos de l"interpolation de Hermite

Comme R3[X]etR4ont la même dimension, et commeest linéaire, il suffit de vérifier que son noyau

est réduit à0. Or, si un polynômep2R3[X]est dans le noyau de, cela signifie que p(xg) =p0(xg) = 0; p(xd) =p0(xd) = 0: Ceci montre quexgetxdsont deux racines doubles distinctes dep, donc le polynôme(xxg)2(xxd)2 doit diviserp. Commedeg(p)3, ceci n"est possible que sipest nul, ce qui conclut la preuve. 2.

On adopte l"écriture proposée

p(x) =q0(x) + (xxg)(xxd)q1(x); avec q

0(x) =a(xxg) +b(xxd);

1(x) =(xxg) +(xxd):

En évaluantpenxgetxd, on trouve de suite

p(xg) =b(xgxd);etp(xd) =a(xdxg); ce qui donne b=ygx gxd;eta=ydx dxg:

On évalue maintenantp0enxgetxdet on trouve

0(xg) = (a+b) + (xgxd)q1(xg) = (a+b) +(xdxg)2;

0(xd) = (a+b) + (xdxg)q1(xd) = (a+b) +(xdxg)2:

Ce qui donne

=1(xdxg)2 z gydygx dxg =1(xdxg)2 z dydygx dxg L"expression du polynôme de Hermite est donc in fine p(x) =ydx dxg(xxg) +ygx dxg(xxd) (xxg)(xxd)(xdxg)2zdzg=d(xxg) +zgzg=d(xxd); où on a défini z g=d=ydygx dxg:

Pour la partie numérique, on aura également besoin de l"expression de la dérivée du polynome de Hermite

0(x) =zg=d+(xxg)2(xdxg)2(zdzg=d)+(xxd)2(xdxg)2(zgzg=d)+2(xxg)(xxd)(xdxg)2(zg+zd2zg=d):

3.quotesdbs_dbs12.pdfusesText_18

[PDF] [PDF] Examen du 5 Janvier Splines cubiques 1 A propos de linterpolation

Option B : Examen du 5 Janvier

Splines cubiques

Montrer que l"application linéaire

B@p(xg)

0(xd)1

0(xg) =zg;

0(xd) =zd:

8x2[xg;xd];92]xg;xd[;tel quef(x)p(x) = (xxg)2(xxd)2f(4)()4!

En déduire que

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2 Existence et unicité de la spline cubique contrainte interpolante

0(x1) =z1;et0(xn) =zn:(P4)

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On pose maintenant

1injf0(xi)0(xi)j Ch4;(E1)

Choisir un entier M >0suffisamment grand.

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T ireraléatoirement

1Mpoints choisis selon la loi uniforme sur[a;b]et notésxk,k= 1;:::;M(ne pas

5000, ce qui suffira pour des valeurs deninférieures à100par exemple.1. La commande Scilaba+(b-a)*rand([1:M])permet de faire cela

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Corrigé

1 A propos de l"interpolation de Hermite

On adopte l"écriture proposée

0(x) =a(xxg) +b(xxd);

1(x) =(xxg) +(xxd):

En évaluantpenxgetxd, on trouve de suite

On évalue maintenantp0enxgetxdet on trouve

0(xg) = (a+b) + (xgxd)q1(xg) = (a+b) +(xdxg)2;

0(xd) = (a+b) + (xdxg)q1(xd) = (a+b) +(xdxg)2:

Ce qui donne

0(x) =zg=d+(xxg)2(xdxg)2(zdzg=d)+(xxd)2(xdxg)2(zgzg=d)+2(xxg)(xxd)(xdxg)2(zg+zd2zg=d):