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PAVE DROIT - VOLUMES

1) Vocabulaire

Considérons le solide suivant :

ABCDE, BCGF, CGHD, ... sont des faces du solide.

A, B, C, D, ... sont des sommets du solide.

[AB], [BC], [CD], ... sont des arêtes du solide.

Toutes les faces du solide ne sont pas représentées. On convient de dessiner en pointillés les arêtes que

l"on ne voit pas : B A EC D FG H I B A EC D FG H IJ

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2) Le cube

définition Un cube est un solide ayant 6 faces. Ces 6 faces sont des carrés.

Représentation d"un cube :

ABCDEFGH est un cube.

Le cube a 6 faces. Sur la figure, les faces sont : ABCD, EFGH, ABFE, BFGC, GCDH et HDAE. Le cube a 8 sommets. Sur la figure, les sommets sont : A, B, C, D, E, F, G et H.

Le cube a 12 arêtes. Sur la figure les arêtes sont : [AB], [BC], [CD], [DA], [EA], [FB], [GC], [HD], [EF],

[FG], [GH] et [HE]. Les arêtes [EH], [FG], [BC] et [AD] sont appelées arêtes fuyantes.

On dit que la représentation du cube ci-dessus est une représentation en perspective cavalière :

· les faces avant et arrière (ABFE et DCGH) gardent leur dimension réelles ;

· les autres faces sont représentées par des parallélogrammes (c"est-à-dire des quadrilatères dont les

côtés opposés sont parallèles) ; · les arêtes fuyantes ont des longueurs inférieures à leurs longueurs réelles ; · les arêtes cachées sont tracées en pointillés. définition

On appelle patron d"un solide un dessin qui permet de réaliser ce solide après découpage et collage, sans

que deux faces se superposent.

Exemple

On considère le cube ci-contre :

A BCDE F

GH AB CD EF GH

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Voici un patron possible pour le cube ci-dessus :

Voici en perspective les pliages nécessaires à la réalisation du cube :

3) Le parallélépipède rectangle (ou pavé droit)

définition

Un parallélépipède rectangle (ou pavé droit) est un solide ayant 6 faces . Ces 6 faces sont des

rectangles.

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Représentation d"un pavé droit :

ABCDEFGH est un parallélépipède rectangle (ou pavé droit). Le pavé droit a 6 faces. Sur la figure, les faces sont : ABCD, EFGH, ABFE, BFGC, GCDH et HDAE.

Ces 6 faces sont des rectangles :

· ABFE et DCGH sont isométriques (ils ont la même longueur et la même largeur) ;

· BFGC et AEHD sont isométriques ;

· ABCD et EFGH sont isométriques.

Le pavé droit a 8 sommets. Sur la figure, les sommets sont : A, B, C, D, E, F, G et H.

Le pavé droit a 12 arêtes. Sur la figure les arêtes sont : [AB], [BC], [CD], [DA], [EA], [FB], [GC], [HD],

[EF], [FG], [GH] et [HE]. Les arêtes [EH], [FG], [BC] et [AD] sont les arêtes fuyantes. Le pavé droit ci-dessus est représenté en perspective cavalière : · les faces avant et arrière (ABFE et DCGH) gardent leur dimension réelles ; · les autres faces sont représentées par des parallélogrammes ; · les arêtes fuyantes ont des longueurs inférieures à leurs longueurs réelles ; · les arêtes cachées sont tracées en pointillés. Voici un patron possible du pavé droit ci-dessus : AB CD EF GH

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Sylvain DUCHET - http://epsilon.2000.free.fr 5 / 6 Voici en perspective les pliages nécessaires à la réalisation du pavé droit :

4) Volumes

a) les unités Les unités de volume sont le "mètre cube" (noté

3m), le "décimètre cube" (noté 3dm), le "centimètre

cube" (noté

3cm) et le "millimètre cube" (noté 3mm) . Un mètre cube correspond au volume d"un cube

dont les arêtes mesurent 1 m. De même, un décimètre cube correspond au volume d"un cube dont les

arêtes mesurent 1 dm et un millimètre cube correspond à un cube dont les arêtes mesurent 1mm.

Pour effectuer des conversions entre ces unités, on utilise le tableau suivant :

3m 3dm 3cm 3mm

3 2 0 0 0, 0 4 5 exemples

3320032,3dmm=

33045,045dmcm=

On utilise parfois les unités de capacité : le litre, ses multiples (dal, hl, kl) et ses sous multiples (dl, cl,

ml). La correspondance entre les unités de volume et les unités de capacités est la suivante :

311dml=.

On a donc le tableau de correspondance suivant :

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3m 3dm 3cm 3mm

kl hl dal l dl cl ml 1

0 0 0

0, 0 7 2 lm00011 3= lml

072,072=

b) Volume d"un cube formule permettant de calculer le volume d"un cube Si c désigne la longueur des arêtes d"un cube, le volume

V du cube est donné par la relation :

cccV´´=

Si la longueur des arêtes du cube est exprimée en cm, le volume sera exprimé en 3cm ; si la longueur des

arêtes du cube est exprimée en dm, le volume sera exprimé en 3dm, etc... exemple Calculer le volume d"un cube dont les arêtes mesures 5 cm :

125555=´´=V

Le volume de ce cube est de 125

3cm. c) Volume d"un pavé droit formule permettant de calculer le volume d"un pavé droit Si L désigne la longueur du pavé droit, l désigne la largeur du pavé droit et h désigne la hauteur du pavé droit, le volume V de ce pavé droit est donné par la relation : hlLV

Si les longueurs des arêtes du pavé droit sont exprimées en cm, le volume sera exprimé en 3cm ; si les

longueurs des arêtes du pavé droit sont exprimées en dm, le volume sera exprimé en

3dm, etc...

exemple Calculer le volume d"un pavé droit de longueur 5 cm, de largeur 3 cm et de hauteur 2cm :

30235=´´=V.

Le volume de ce pavé droit est de 30

3cm. c L l hquotesdbs_dbs32.pdfusesText_38